I betragtning af funktioner af en kompleks variabel, definerede Liouville elementære funktioner noget mere bredt. Elementær funktion y variabel x- analytisk funktion, som kan repræsenteres som en algebraisk funktion af x og funktioner , og er logaritmen eller eksponenten for en algebraisk funktion g 1 fra x .

For eksempel synd( x) - algebraisk funktion af e jegx .

Uden at begrænse betragtningens almene karakter kan vi betragte funktionerne som værende algebraisk uafhængige, dvs. hvis den algebraiske ligning er opfyldt for alle x, så alle koefficienter af polynomiet er lig med nul.

Differentiering af elementære funktioner

Hvor z 1 "(z) er lig med eller g 1 " / g 1 eller z 1 g 1" alt efter om det er en logaritme z 1 eller eksponentiel osv. I praksis er det praktisk at bruge en afledt tabel.

Integration af elementære funktioner

Liouvilles sætning er grundlaget for at skabe algoritmer til symbolsk integration af elementære funktioner, implementeret f.eks.

Beregning af grænser

Liouvilles teori gælder ikke for beregning af grænser. Det vides ikke, om der findes en algoritme, der givet en sekvens givet af en elementær formel giver et svar på, om den har en grænse eller ej. For eksempel er spørgsmålet åbent, om sekvensen konvergerer.

Litteratur

• J. Liouville. Mémoire sur l'intégration d'une classe de fonctions transcendantes// J. Reine Angew. Matematik. Bd. 13, s. 93-118. (1835)
• J.F. Ritt. Integration i endelige termer. N.-Y., 1949 // http://lib.homelinux.org
• A. G. Khovansky. Topologisk Galois-teori: solvabilitet og uopløselighed af ligninger i endelig form Ch. 1. M, 2007

Noter

Wikimedia Foundation. 2010.

• Elementær excitation
• Elementært resultat

Se, hvad "Elementær funktion" er i andre ordbøger:

elementær funktion- En funktion, der, hvis den er opdelt i mindre funktioner, ikke kan defineres entydigt i det digitale transmissionshierarki. Derfor er det fra netværkets synspunkt udeleligt (ITU T G.806). Emner: telekommunikation, grundlæggende begreber EN tilpasningsfunktionA... Teknisk oversættervejledning

funktion af interaktion mellem netværksniveauer- En elementær funktion, der giver interaktion af karakteristisk information mellem to netværkslag. (ITU T G.806). Emner: telekommunikation, grundlæggende begreber i EN-lag... ... Teknisk oversættervejledning

Komplet liste over grundlæggende elementære funktioner

Klassen af ​​grundlæggende elementære funktioner omfatter følgende:

1. Konstantfunktion $y=C$, hvor $C$ er en konstant. En sådan funktion tager den samme værdi $C$ for enhver $x$.
2. Potensfunktion $y=x^(a) $, hvor eksponenten $a$ er et reelt tal.
3. Eksponentiel funktion $y=a^(x) $, hvor grundtallet er grad $a>0$, $a\ne 1$.
4. Logaritmisk funktion $y=\log _(a) x$, hvor basen af ​​logaritmen er $a>0$, $a\ne 1$.
5. Trigonometriske funktioner $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ sek\,x$.
6. Inverse trigonometriske funktioner $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , x$.

Power funktioner

Vi vil overveje opførselen af ​​potensfunktionen $y=x^(a) $ i de simpleste tilfælde, hvor dens eksponent bestemmer heltalseksponentiering og rodudvinding.

Case 1

Eksponenten for funktionen $y=x^(a) $ er et naturligt tal, det vil sige $y=x^(n) $, $n\i N$.

Hvis $n=2\cdot k$ er et lige tal, så er funktionen $y=x^(2\cdot k) $ lige og stiger uendeligt, som om argumentet $\left(x\to +\infty \ right) )$, og med dets ubegrænsede fald $\left(x\to -\infty \right)$. Denne funktionsadfærd kan beskrives ved udtrykkene $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ og $\mathop(\lim )\ limits_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, hvilket betyder, at funktionen i begge tilfælde øges uden grænse ($\lim $ er grænsen). Eksempel: graf for funktionen $y=x^(2) $.

Hvis $n=2\cdot k-1$ er et ulige tal, så er funktionen $y=x^(2\cdot k-1) $ ulige, stiger på ubestemt tid, når argumentet stiger på ubestemt tid, og falder uendeligt som argumentet falder på ubestemt tid. Denne funktionsadfærd kan beskrives ved udtrykkene $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ og $\mathop(\lim )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. Eksempel: graf for funktionen $y=x^(3) $.

Tilfælde 2

Eksponenten for funktionen $y=x^(a) $ er et negativt heltal, det vil sige $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\in N$.

Hvis $n=2\cdot k$ er et lige tal, så er funktionen $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ lige og nærmer sig asymptotisk (gradvist) nul som med ubegrænset forøgelsesargument , og med dets ubegrænsede fald. Denne funktionsadfærd kan beskrives ved et enkelt udtryk $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$, hvilket betyder at med en ubegrænset stigning i argumentet i absolut værdi er grænsen for funktionen nul. Da argumentet desuden har en tendens til nul både til venstre $\left(x\to 0-0\right)$ og til højre $\left(x\to 0+0\right)$, øges funktionen uden begrænse. Derfor er udtrykkene $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ og $\mathop(\lim )\ limits_ er gyldige (x\til 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, hvilket betyder, at funktionen $y=\frac(1)(x^(2) \cdot k ) ) $ har i begge tilfælde en uendelig grænse lig med $+\infty $. Eksempel: graf for funktionen $y=\frac(1)(x^(2) ) $.

Hvis $n=2\cdot k-1$ er et ulige tal, så er funktionen $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ ulige og asymptotisk nærmer sig nul, som om både når argumentet stiger, og når det falder uden grænse. Denne funktionsadfærd kan beskrives ved et enkelt udtryk $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$. Derudover, når argumentet nærmer sig nul til venstre, falder funktionen uden grænse, og når argumentet nærmer sig nul til højre, øges funktionen uden grænse, det vil sige $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ og $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \frac(1)( x^(2\cdot k-1) ) =+\infty $. Eksempel: graf for funktionen $y=\frac(1)(x) $.

Tilfælde 3

Eksponenten for funktionen $y=x^(a) $ er det omvendte af det naturlige tal, det vil sige $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\i N$.

Hvis $n=2\cdot k$ er et lige tal, så er funktionen $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ to-værdi og er kun defineret for $x\ge 0 $. Med en ubegrænset stigning i argumentet øges værdien af ​​funktionen $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ ubegrænset, og værdien af ​​funktionen $y=-\sqrt[(2\ cdot k)](x) $ falder ubegrænset , det vil sige $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right )=+\infty $ og $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. Eksempel: graf for funktionen $y=\pm \sqrt(x) $.

Hvis $n=2\cdot k-1$ er et ulige tal, så funktionen $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ er ulige, stiger ubegrænset med en ubegrænset stigning i argumentet og falder ubegrænset, når den er ubegrænset, falder den, det vil sige $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ og $\mathop(\ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =-\infty $. Eksempel: graf for funktionen $y=\sqrt[(3)](x) $.

Eksponentielle og logaritmiske funktioner

De eksponentielle $y=a^(x) $ og logaritmiske $y=\log _(a) x$ funktioner er gensidigt inverse. Deres grafer er symmetriske med hensyn til den fælles halveringslinje for den første og tredje koordinatvinkel.

Når argumentet $\left(x\to +\infty \right)$ stiger uendeligt, vil eksponentialfunktionen eller $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $ stiger på ubestemt tid , hvis $a>1$, eller asymptotisk nærmer sig nul $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =0$, if $a1$, eller $\mathop stiger uden grænse (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $, hvis $a

Den karakteristiske værdi for funktionen $y=a^(x) $ er værdien $x=0$. I dette tilfælde vil alle eksponentielle funktioner, uanset $a$, nødvendigvis skære $Oy$-aksen ved $y=1$. Eksempler: grafer for funktionerne $y=2^(x) $ og $y = \left (\frac(1)(2) \right)^(x) $.

Den logaritmiske funktion $y=\log _(a) x$ er kun defineret for $x > 0$.

Da argumentet $\left(x\to +\infty \right)$ stiger uendeligt, vil den logaritmiske funktion eller $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=+ \ øger uendeligt infty $, hvis $a>1$, eller falder uden grænse $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $, hvis $a1 $, eller uden grænse $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ stiger, hvis $a

Den karakteristiske værdi for funktionen $y=\log _(a) x$ er værdien $y=0$. I dette tilfælde vil alle logaritmiske funktioner, uanset $a$, nødvendigvis skære $Ox$-aksen ved $x=1$. Eksempler: grafer for funktionerne $y=\log _(2) x$ og $y=\log _(1/2) x$.

Nogle logaritmiske funktioner har speciel notation. Især hvis basisen af ​​logaritmen er $a=10$, så kaldes en sådan logaritme decimal, og den tilsvarende funktion skrives som $y=\lg x$. Og hvis det irrationelle tal $e=2.7182818\ldots $ er valgt som basis for logaritmen, så kaldes en sådan logaritme naturlig, og den tilsvarende funktion skrives som $y=\ln x$. Dens inverse er funktionen $y=e^(x) $, kaldet eksponenten.

Grundlæggende elementære funktioner er: konstant funktion (konstant), rod n-te grad, potensfunktion, eksponentiel, logaritmisk funktion, trigonometriske og inverse trigonometriske funktioner.

Permanent funktion.

En konstant funktion er givet på mængden af ​​alle reelle tal ved formlen , hvor C– et reelt tal. En konstant funktion tildeler hver faktisk værdi af den uafhængige variabel x samme værdi af den afhængige variabel y- betyder MED. En konstant funktion kaldes også en konstant.

Grafen for en konstant funktion er en ret linje parallel med x-aksen og går gennem punktet med koordinater (0,C). Lad os for eksempel vise grafer over konstante funktioner y=5,y=-2 og , som i nedenstående figur svarer til henholdsvis de sorte, røde og blå streger.

Egenskaber for en konstant funktion.

Domæne: hele sættet af reelle tal.

Den konstante funktion er lige.

Værdiområde: sæt bestående af et ental MED.

En konstant funktion er ikke-stigende og ikke-faldende (det er derfor, den er konstant).

Det giver ingen mening at tale om konveksitet og konkavitet af en konstant.

Der er ingen asymptoter.

Funktionen går gennem punktet (0,C) koordinatplan.

Rod af n. grad.

Lad os overveje den grundlæggende elementære funktion, som er givet af formlen, hvor n– et naturligt tal større end én.

Den n'te rod, n er et lige tal.

Lad os starte med rodfunktionen n-te potens for lige værdier af rodeksponenten n.

Som et eksempel er her et billede med billeder af funktionsgrafer og , de svarer til sorte, røde og blå linjer.

Graferne for lige-graders rodfunktioner har et lignende udseende for andre værdier af eksponenten.

Egenskaber for rodfunktionenn -th magt for ligen .

Den n'te rod, n er et ulige tal.

Root funktion n-potens med en ulige grundeksponent n er defineret på hele sættet af reelle tal. For eksempel er her funktionsgraferne og , de svarer til sorte, røde og blå kurver.