بیایید اهرمی را با محور چرخش در نقطه O در نظر بگیریم (شکل 1). نیروهای $(\overline(F))_1$ و $(\overline(F))_2$ بر روی اهرم در یک جهت هدایت می شوند.

حداقل فاصله بین تکیه گاه (نقطه O) و خط مستقیمی که در طول آن نیرو بر اهرم وارد می شود، بازوی نیرو نامیده می شود.

برای یافتن بازوی نیرو، یک عمود از نقطه تکیه بر خط عمل نیرو پایین بیاورید. طول این عمود تبدیل به بازوی نیروی مورد نظر خواهد شد. بنابراین، در شکل 1، فاصله $\چپ|OA\right|=d_1$ بازوی نیروی $F_1$ است. $\چپ|OA\right|=d_2$- بازوی نیروی $F_2$.

اگر برابری برآورده شود اهرم در حالت تعادل است:

\[\frac(F_1)(F_2)=\frac(d_2)(d_1)\left(1\راست).\]

فرض کنید یک نقطه مادی تحت تأثیر نیروی $\overline(F)$ در یک دایره (شکل 2) حرکت می کند (نیرو در صفحه حرکت نقطه عمل می کند). در این حالت، شتاب زاویه ای ($\varepsilon $) نقطه توسط مولفه مماسی ($F_(\tau )$) نیروی $\overline(F)$ تعیین می شود:

که در آن $m$ جرم نقطه مادی است. $R$ - شعاع مسیر حرکت نقطه. $F_(\tau )$ - پیش بینی نیرو بر روی جهت سرعت نقطه.

اگر زاویه $\alpha $ زاویه بین بردار نیرو $\overline(F)$ و بردار شعاع $\overline(R)$ باشد که موقعیت نقطه ماده مورد بررسی را تعیین می کند (این بردار شعاع از نقطه O به نقطه A در شکل .2)، سپس:

فاصله $d$ بین مرکز O و خط عمل نیروی $\overline(F)$ بازوی نیرو نامیده می شود. از شکل 2 چنین بر می آید که:

اگر نیرویی ($\overline(F)$) بر روی نقطه‌ای که مماس بر مسیر حرکت آن باشد، وارد شود، بازوی نیرو برابر است با $d=R$، زیرا زاویه $\alpha $ خواهد بود. برابر $\frac(\pi )(2)$ باشد.

لحظه نیرو و اهرم

مفهوم اهرم گاهی اوقات برای نوشتن مقدار لحظه نیرو ($\overline(M)$) استفاده می شود که برابر است با:

\[\Overline(M)=\چپ[\overline(r)\overline(F)\right]\left(5\right),\]

که در آن $\overline(r)$ شعاع است - برداری که به نقطه ادامه نیروی $\ \overline(F)$ کشیده شده است. مدول بردار گشتاور نیرو برابر است با:

ایجاد اهرم

و بنابراین، بازوی نیرو طول عمود است که از نقطه ای انتخاب شده ترسیم می شود، گاهی اوقات به آن قطب می گویند (به طور دلخواه انتخاب می شود، اما زمانی که یک مسئله را فقط یک بار در نظر می گیریم). هنگام در نظر گرفتن مسائل، نقطه O معمولاً در محل تقاطع چندین نیرو) نسبت به نیرو انتخاب می شود (شکل 3 (الف)). اگر نقطه O روی همان خط مستقیم نیروها یا روی خود نیرو قرار گیرد، بازوهای نیروها برابر با صفر خواهند بود.

اگر امکان ساختن یک عمود وجود نداشته باشد، بردار نیرو در جهت مورد نظر کشیده می شود و پس از آن یک عمود ساخته می شود (شکل 3 (ب)).

نمونه هایی از مشکلات با راه حل ها

مثال 1

ورزش.جرم جسم کوچکتر ($m_1$) چقدر است اگر با جسمی به جرم $m_2=(\rm 2\ )$kg متعادل شود؟ اجسام روی یک اهرم بی وزن هستند (شکل 3) آیا نسبت بازوهای اهرم 1:4 است؟

راه حل.مبنای حل مسئله، قانون تعادل اهرمی است:

\[\frac(F_1)(F_2)=\frac(d_2)(d_1)\left(1.1\راست)،\]

که در آن نیروهای وارد بر انتهای اهرم از نظر بزرگی برابر با نیروهای گرانشی است که بر اجسام وارد می شود، بنابراین فرمول (1.1) را به شکل زیر بازنویسی می کنیم:

\[\frac(m_1g)(m_2g)=\frac(d_2)(d_1)\to \frac(m_1)(m_2)=\frac(d_2)(d_1)\ چپ (1.2\راست).\]

از عبارت (1.2) جرم مورد نیاز $m_1$ را بدست می آوریم:

بیایید جرم مورد نیاز را محاسبه کنیم:

پاسخ.$m_1=0.5\ kg$

مثال 2

ورزش.یک میله همگن به طول $l\ $ و جرم $M$ به صورت افقی قرار دارد. یک سر میله در نقطه A ثابت است تا بتواند به دور این نقطه بچرخد، سر دیگر آن بر روی صفحه ای شیبدار قرار دارد که زاویه تمایل آن نسبت به افق برابر با $\alpha $ است. یک بار کوچک روی میله در فاصله $b\ $ از نقطه A وجود دارد. بازوهای نیروهای وارد بر میله کدامند؟

راه حل.اجازه دهید در شکل 4 نیروهای وارد بر میله را به تصویر بکشیم. اینها عبارتند از: گرانش: $M\overline(g)$، وزن بار واقع بر روی آن $\overline(P)=m_1\overline(g)$، نیروی واکنش صفحه شیبدار: $\overline(N)$ ; نیروی واکنش زمین در نقطه A: $\overline(N)"$.

ما به دنبال بازوهای نیرو نسبت به نقطه A خواهیم بود. بازوی نیرو $\overline(N")$ برابر با صفر خواهد بود، زیرا نیرو در نقطه A به میله اعمال می شود:

بازوی نیروی واکنش پشتیبانی دیگر ($\overline(N)$) برابر است با طول AC عمود:

بازوی نیرو $M\overline(g)$ از شکل 4، زیرا نیروی گرانش به مرکز جرم میله اعمال می شود که برای یک میله همگن در وسط آن قرار دارد:

بازوی نیرو $m_1\overline(g),$ با در نظر گرفتن کوچک بودن بار و در نظر گرفتن آن به عنوان نقطه مادی برابر است با:

پاسخ.$d_(N")=0;;\ d_N=l(sin (90-\alpha)\ )=l(cos \alpha \ \left(m\right),\ )d_(Mg)=\frac(l )(2)،\ d_(m_1g)=b$

اهرم جسم صلبی است که می تواند حول یک نقطه ثابت بچرخد. نقطه ثابت نامیده می شود تکیه گاه. فاصله نقطه تکیه تا خط عمل نیرو نامیده می شود شانهاین قدرت

وضعیت تعادل اهرمی: اگر نیروهای وارده به اهرم اهرم در حالت تعادل باشد F 1و F 2تمایل دارند آن را در جهت مخالف بچرخانند و مدول های نیروها با شانه های این نیروها نسبت معکوس دارند: F 1 / F 2 = l 2 / l 1این قانون توسط ارشمیدس ایجاد شد. طبق افسانه، او فریاد زد: به من جای پایی بده تا زمین را بلند کنم .

برای اهرم برآورده می شود « قانون طلایی» مکانیک (اگر بتوان از اصطکاک و جرم اهرم چشم پوشی کرد).

با اعمال مقداری نیرو به یک اهرم بلند، می توانید از انتهای دیگر اهرم برای بلند کردن باری استفاده کنید که وزن آن بسیار بیشتر از این نیرو است. این بدان معناست که با استفاده از اهرم می توانید قدرت بدست آورید. هنگام استفاده از اهرم، افزایش قدرت لزوماً با ضرر مساوی در طول مسیر همراه است.

انواع اهرم ها:

لحظه قدرت. قانون لحظه ها

حاصل ضرب مدول نیرو و شانه آن نامیده می شود لحظه نیرو.M = Fl ، جایی که M لحظه نیرو، F نیرو، l اهرم نیرو است.

قانون لحظه ها: یک اهرم در حالت تعادل است اگر مجموع گشتاورهای نیروهایی که اهرم را در یک جهت بچرخانند برابر باشد با مجموع نیروهایی که میل به چرخش آن در جهت مخالف دارند. این قانون برای هر جسم صلب که قادر به چرخش حول یک محور ثابت باشد معتبر است.

لحظه نیرو مشخص کننده عمل چرخشی نیرو است. این عمل هم به نیرو و هم به اهرم آن بستگی دارد. به همین دلیل است که مثلاً وقتی می‌خواهند دری را باز کنند سعی می‌کنند تا حد امکان از محور چرخش نیرو وارد کنند. با کمک یک نیروی کوچک لحظه قابل توجهی ایجاد می شود و در باز می شود. باز کردن آن با اعمال فشار در نزدیکی لولاها بسیار دشوارتر است. به همین دلیل، یک مهره با یک آچار بلندتر راحت تر باز می شود، یک پیچ راحت تر با یک پیچ گوشتی با دسته پهن تر باز می شود و غیره.

واحد SI لحظه نیرو است نیوتن متر (1 N*m). این لحظه نیروی 1 N با شانه 1 متر است.

استاتیک شاخه ای از مکانیک است که به مطالعه تعادل می پردازد

شانه قدرت

شانه قدرتطول عمود از یک نقطه فرضی O به نیرو است. مرکز ساختگی، نقطه O را به دلخواه انتخاب می کنیم و گشتاورهای هر نیرو را نسبت به این نقطه تعیین می کنیم. نمی توان یک نقطه O را برای تعیین ممان برخی نیروها انتخاب کرد و در جای دیگر برای یافتن ممان نیروهای دیگر آن را انتخاب کرد!

سنگ توسط گرانش، نیروی اصطکاک، نیروی واکنش پشتیبانی، و دو نیروی خارجی اضافی F 1 و F 2 وارد می شود.

نقطه O را در یک مکان دلخواه انتخاب می کنیم و دیگر مکان آن را تغییر نمی دهیم. سپس بازوی گرانشی طول عمود (قطعه d) در شکل است

بازوی نیروی واکنش زمین نیز به همین ترتیب تعیین می شود

اگر امکان ساخت عمود وجود نداشته باشد، بردار نیرو در جهت مورد نیاز امتداد می یابد و پس از آن یک عمود بر این خط می سازیم. بازوی زور F 2

بازوی زور F 1

نیروی اصطکاک باقی می ماند! اگر نقطه O و نیرو روی یک خط قرار گیرند، شانه این نیرو برابر با صفر است. بازوی نیروی اصطکاک صفر است.

هنگام حل مسائل، انتخاب نقطه O در نقطه تقاطع چندین نیرو مفید است. آن وقت شانه های همه این نیروها صفر می شود. برای مثال، اگر نقطه O در مثال قبلی متفاوت انتخاب شود، آنگاه نیروی شانه متفاوت خواهد بود.

بازوهای نیروهای F 1، F 2 و نیروی گرانش برابر با صفر هستند، زیرا نقطه O با آنها در همان خط مستقیم (یا روی خود نیرو) قرار دارد. بازوی نیروی واکنش پشتیبانی به طول d1 است. طول بازوی نیروی اصطکاک d2 است.

قاعده اهرم که توسط ارشمیدس در قرن سوم پیش از میلاد کشف شد، تقریباً دو هزار سال وجود داشت تا اینکه در قرن هفدهم با دست سبکدانشمند فرانسوی Varignon شکل کلی تری دریافت نکرد.

قانون گشتاور

مفهوم گشتاور معرفی شد. گشتاور نیرو کمیت فیزیکی است برابر حاصل ضرب نیرو و بازوی آن:

جایی که M لحظه نیرو است،
F - قدرت،
ل - اهرم نیرو.

از قانون تعادل اهرمی به طور مستقیم قانون لحظات نیروها به شرح زیر است:

F1 / F2 = l2 / l1 یا با خاصیت نسبت، F1 * l1 = F2 * l2، یعنی M1 = M2

در بیان کلامی قاعده گشتاور نیروها به این صورت است: اهرمی تحت تأثیر دو نیرو در حالت تعادل است اگر گشتاور نیرویی که آن را در جهت عقربه های ساعت می چرخاند با گشتاور نیرویی که آن را در خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخاند برابر باشد. قانون گشتاورهای نیرو برای هر جسمی که حول یک محور ثابت ثابت باشد معتبر است. در عمل ممان نیرو به صورت زیر یافت می شود: در جهت عمل نیرو، خطی از عمل نیرو ترسیم می شود. سپس از نقطه ای که محور چرخش در آن قرار دارد، عمود بر خط عمل نیرو رسم می شود. طول این عمود برابر با بازوی نیرو خواهد بود. با ضرب مقدار مدول نیرو در بازوی آن، مقدار ممان نیرو را نسبت به محور چرخش به دست می آوریم. یعنی می بینیم که لحظه نیرو مشخص کننده عمل چرخشی نیرو است. تأثیر یک نیرو هم به خود نیرو و هم به اهرم آن بستگی دارد.

اعمال قانون گشتاور نیروها در موقعیت های مختلف

این امر مستلزم اعمال قانون لحظه های نیروها در موقعیت های مختلف است. به عنوان مثال، اگر دری را باز کنیم، آن را در ناحیه دستگیره، یعنی دور از لولا فشار می دهیم. می‌توانید یک آزمایش اساسی انجام دهید و مطمئن شوید که هرچه بیشتر از محور چرخش نیرو وارد کنیم، فشار دادن درب آسان‌تر است. آزمایش عملی در در این موردمستقیماً با فرمول تأیید می شود. از آنجایی که برای مساوی بودن گشتاور نیروها در بازوهای مختلف، لازم است که بازوی بزرگتر با نیروی کوچکتر و برعکس بازوی کوچکتر مطابق با نیروی بزرگتر باشد. هر چه نیرو را به محور چرخش نزدیکتر کنیم، باید بیشتر باشد. هر چه اهرم را دورتر از محور کار کنیم و بدنه را بچرخانیم، نیروی کمتری به آن نیاز خواهیم داشت. مقادیر عددی را می توان به راحتی از فرمول قانون لحظه پیدا کرد.

دقیقاً بر اساس قانون لحظه‌های نیرو است که اگر نیاز به بلند کردن چیز سنگین داشته باشیم، یک کلاغ یا یک چوب بلند را می‌گیریم و با لغزش یک سر آن زیر بار، میله را نزدیک انتهای دیگر می‌کشیم. به همین دلیل پیچ ها را با یک پیچ گوشتی دسته بلند پیچ ​​می کنیم و با آچار بلند مهره ها را محکم می کنیم.

که برابر است با حاصل ضرب نیروی وارد بر شانه آن.

لحظه نیرو با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

جایی که اف- زور، ل- شانه قدرت

شانه قدرت- این کوتاه ترین فاصله از خط عمل نیرو تا محور چرخش بدن است. شکل زیر یک جسم صلب را نشان می دهد که می تواند حول یک محور بچرخد. محور چرخش این جسم عمود بر صفحه شکل است و از نقطه ای می گذرد که به عنوان حرف O تعیین شده است. شانه نیرو Ftاینجا فاصله است ل، از محور چرخش تا خط عمل نیرو. به این صورت تعریف شده است. اولین مرحله ترسیم خط عمل نیرو است، سپس از نقطه O که محور چرخش جسم از آن عبور می کند، عمود بر خط عمل نیرو را پایین بیاوریم. طول این عمود بر بازوی یک نیروی معین است.

ممان نیرو، عملکرد چرخشی یک نیرو را مشخص می کند. این عمل هم به قدرت و هم به اهرم بستگی دارد. هرچه بازو بزرگتر باشد، نیروی کمتری باید اعمال شود تا نتیجه مطلوب یعنی همان لحظه نیرو به دست آید (شکل بالا را ببینید). به همین دلیل است که باز کردن درب با فشار دادن آن به لولاها بسیار دشوارتر از گرفتن دستگیره است و باز کردن پیچ مهره با آچار بلند بسیار آسان تر از آچار کوتاه است.

واحد SI گشتاور نیرو، ممان نیروی 1 نیوتن است که بازوی آن برابر با 1 متر - نیوتن متر (N m) است.

قانون لحظه ها

جسم صلبی که بتواند حول یک محور ثابت بچرخد در حالت تعادل است اگر لحظه نیرو M 1چرخش آن در جهت عقربه های ساعت برابر با لحظه نیرو است م 2 ، که آن را در خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخاند:

قاعده لحظه ها نتیجه یکی از قضایای مکانیک است که توسط دانشمند فرانسوی P. Varignon در سال 1687 فرموله شد.

یکی دو نیرو

اگر بر جسمی 2 نیروی مساوی و خلاف جهت که روی یک خط مستقیم قرار ندارند وارد شود، چنین جسمی در تعادل نیست، زیرا گشتاور حاصل از این نیروها نسبت به هر محوری برابر با صفر نیست، زیرا هر دو نیرو دارای گشتاورهایی هستند که در یک جهت هدایت می شوند. دو نیرویی که به طور همزمان بر روی یک جسم وارد می شوند نامیده می شوند یکی دو نیرو. اگر جسم روی یک محور ثابت باشد، تحت تأثیر یک جفت نیرو می چرخد. اگر چند نیرو به جسم آزاد وارد شود، آنگاه حول محور خود می چرخد. عبور از مرکز ثقل بدن، شکل ب.

گشتاور یک جفت نیرو در مورد هر محور عمود بر صفحه جفت یکسان است. کل لحظه مجفت همیشه برابر است با حاصل ضرب یکی از نیروها افبه فاصله ای لبین نیروها که نامیده می شود شانه زوج، مهم نیست چه بخش هایی ل، و موقعیت محور شانه جفت را به اشتراک می گذارد:

گشتاور چندین نیرو که حاصل آن صفر است، نسبت به تمام محورهای موازی با یکدیگر یکسان خواهد بود، بنابراین عمل همه این نیروها بر روی بدنه را می توان با عمل یک جفت نیرو با همان نیرو جایگزین کرد. لحظه