بخش ها: ریاضیات

نوع درس:

• با توجه به روش تحویل - یک درس کارگاهی؛
• برای اهداف آموزشی - درسی در کاربرد دانش و مهارت.

هدف:توانایی عامل بندی چند جمله ای را توسعه دهید.

وظایف:

• اموزشی: نظام مند کردن، گسترش و تعمیق دانش، مهارت های دانش آموزی، از روش های مختلف فاکتورگیری چند جمله ای استفاده کنید. توانایی استفاده از فاکتورسازی یک چند جمله ای را با ترکیب تکنیک های مختلف توسعه دهید. دانش و مهارت‌ها را در موضوع: «فاکتورسازی چند جمله‌ای» برای تکمیل تکالیف در سطح پایه و وظایف با پیچیدگی افزایش یافته پیاده‌سازی کنید.
• رشدی: توسعه فعالیت ذهنی از طریق حل انواع مختلف مشکلات، یادگیری یافتن و تجزیه و تحلیل منطقی ترین روش های راه حل، کمک به شکل گیری توانایی تعمیم حقایق مورد مطالعه، بیان افکار خود به وضوح و واضح.
• آموزشی: توسعه مهارت های مستقل و کار گروهی، مهارت های خودکنترلی

روش های کار:

• کلامی;
• دیداری؛
• کاربردی.

تجهیزات درسی:وایت برد تعاملی یا پروژکتور بالای سر، جداول با فرمول ضرب اختصاری، دستورالعمل ها، جزوهبرای کار در گروه

ساختار درس:

1. زمان سازماندهی 1 دقیقه
2. تدوین موضوع، هدف و اهداف درس عملی. 2 دقیقه
3. بررسی تکالیف 4 دقیقه
4. به روز رسانی دانش و مهارت های پایه دانش آموزان. 12 دقیقه
5. دقیقه تربیت بدنی 2 دقیقه
6. آموزش نحوه انجام وظایف کارگاه. 2 دقیقه
7. انجام وظایف به صورت گروهی 15 دقیقه
8. بررسی و بحث در مورد تکالیف. تجزیه و تحلیل شغل. 3 دقیقه
9. تنظیم تکالیف. 1 دقیقه
10. مشاغل را رزرو کنید 3 دقیقه

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی

معلم آمادگی کلاس و دانش آموزان را برای درس بررسی می کند.

2. تدوین موضوع، هدف و اهداف درس کارگاه

• پیام در مورد درس پایانی در مورد موضوع.
• ایجاد انگیزه برای فعالیت های یادگیری دانش آموزان.
• تدوین هدف و تعیین اهداف درس (همراه با دانش آموزان).

3. بررسی تکالیف

روی تخته نمونه هایی از حل تمرین های تکلیف شماره 943 (الف، ج) وجود دارد. شماره 945 (ج، د). نمونه ها توسط دانش آموزان کلاس ساخته شده است. (این دسته از دانش آموزان در درس قبل مشخص شدند؛ تصمیم خود را در زمان استراحت رسمی کردند). دانش آموزان برای "دفاع" از راه حل ها آماده می شوند.

معلم:

وجود تکالیف در دفترهای دانش آموزان را بررسی می کند.

از دانش‌آموزان کلاس دعوت می‌کند به این سؤال پاسخ دهند: «تکمیل تکلیف چه مشکلاتی ایجاد کرد؟»

پیشنهاد می کند راه حل خود را با راه حل روی تخته بررسی کنید.

از دانش‌آموزان در تابلو دعوت می‌کند تا هنگام بررسی با استفاده از نمونه‌ها، به سؤالاتی که دانش‌آموزان در محل دارند پاسخ دهند.

نظر در مورد پاسخ دانش آموزان، تکمیل پاسخ، و توضیح (در صورت لزوم).

اتمام تکالیف را خلاصه می کند.

دانش آموزان:

ارائه تکالیف به معلم.

آنها دفترهای یادداشت (دو به دو) را رد و بدل می کنند و با یکدیگر چک می کنند.

به سوالات معلم پاسخ دهید.

محلول خود را با نمونه بررسی کنید.

آنها به عنوان مخالف عمل می کنند، اضافه می کنند، اصلاح می کنند، اگر روش حل در دفترچه با روش روی تخته متفاوت است، روش دیگری را یادداشت می کنند.

از دانش آموزان و معلم توضیحات لازم را بخواهید.

راه هایی برای تأیید نتایج به دست آمده بیابید.

در ارزیابی کیفیت وظایف انجام شده در هیئت مدیره شرکت کنید.

4. به روز رسانی دانش و مهارت های پایه دانش آموزان

1. کار شفاهی

معلم:

به سوالات پاسخ دهید:

1. فاکتورگیری چند جمله ای به چه معناست؟
2. چند روش تجزیه را می شناسید؟
3. نام آن ها چیست؟
4. کدام رایج ترین است؟

2. چند جمله ای ها روی تخته نوشته می شوند:

1. 14 x 3 - 14 x 5

2. 16x 2 – (2 + x) 2

3. 9 – x 2 – 2хy – y 2

4. x 3 - 3x - 2

معلماز دانش آموزان دعوت می کند تا چند جمله ای های شماره 1-3 را عامل گذاری کنند:

• گزینه I – با اعمال یک عامل مشترک؛
• گزینه II - با استفاده از فرمول های ضرب مختصر.
• گزینه III - با روش گروه بندی.

از یک دانش آموز خواسته می شود که چند جمله ای شماره 4 را فاکتور کند (یک کار فردی با دشواری بیشتر، کار در قالب A 4 تکمیل می شود). سپس یک نمونه راه حل برای وظایف شماره 1-3 (انجام شده توسط معلم)، یک راه حل نمونه برای کار شماره 4 (انجام شده توسط دانش آموز) روی تخته ظاهر می شود.

3. گرم کنید

معلم دستورالعمل هایی را برای فاکتورگیری و انتخاب حرف مرتبط با پاسخ صحیح می دهد. با اضافه کردن حروف، نام بزرگترین ریاضیدان قرن هفدهم را به دست می آورید که سهم بزرگی در توسعه نظریه حل معادلات داشته است. (دکارت)

5. بیانیه درس تربیت بدنی برای دانش آموزان خوانده می شود. اگر گفته درست است، دانش آموزان باید دست خود را بالا ببرند و اگر نادرست است، پشت میز خود بنشینند. (پیوست 2)

6. آموزش نحوه انجام وظایف کارگاه.

یک جدول با دستورالعمل ها روی تخته سفید تعاملی یا یک پوستر جداگانه وجود دارد.

هنگام فاکتورگیری یک چند جمله ای، ترتیب زیر باید رعایت شود:

1. فاکتور مشترک را خارج از پرانتز قرار دهید (در صورت وجود).

2. از فرمول های ضرب مختصر (در صورت امکان) استفاده کنید.

3. روش گروه بندی را اعمال کنید.

4. نتیجه حاصل از ضرب را بررسی کنید.

معلم:

دستورالعمل ها را به دانش آموزان ارائه می دهد (روی مرحله 4 تمرکز می کند).

انجام تکالیف کارگاهی را به صورت گروهی ارائه می دهد.

کاربرگ را به گروه ها توزیع می کند، برگه هایی با کاغذ کربن برای تهیه تکالیف در دفترچه ها و بررسی بعدی آنها.

زمان کار گروهی و کار در دفترچه را تعیین می کند.

دانش آموزان:

دستورالعملها را بخوان.

معلمان با دقت گوش می دهند.

نشستن به صورت گروهی (4-5 نفر).

آماده شدن برای انجام کارهای عملی

7. انجام کارها به صورت گروهی

کاربرگ هایی با وظایف برای گروه ها. (پیوست 3)

معلم:

کار مستقل را در گروه مدیریت می کند.

توانایی دانش آموزان برای کار مستقل، توانایی کار گروهی و کیفیت طراحی کاربرگ را ارزیابی می کند.

دانش آموزان:

تکالیف را روی صفحات کاغذ کربن موجود در کتاب کار کامل کنید.

در مورد راه های تصمیم گیری منطقی بحث کنید.

یک کاربرگ از گروه تهیه کنید.

برای دفاع از کار تکمیل شده آماده شوید.

8. بررسی و بحث در مورد اتمام کار

پاسخ ها روی تابلوی تعاملی

معلم:

نسخه هایی از تصمیمات را جمع آوری می کند.

گزارش دهی دانش آموز را روی کاربرگ ها مدیریت می کند.

ارزیابی خود از کار شما، مقایسه پاسخ‌های دفترچه‌ها، کاربرگ‌ها و نمونه‌های روی تخته را ارائه می‌دهد.

ضوابط تعیین نمره برای کار و مشارکت در اجرای آن را به من یادآوری می کند.

در مورد تصمیم گیری یا مسائل خودارزیابی در حال ظهور توضیحاتی ارائه می کند.

اولین نتایج کار عملی و تأمل را خلاصه می کند.

درس را (به همراه دانش آموزان) خلاصه می کند.

می گوید که نتایج نهایی پس از بررسی نسخه های کار تکمیل شده توسط دانش آموزان خلاصه می شود.

دانش آموزان:

کپی ها را به معلم بدهید.

برگه ها به تخته متصل می شوند.

گزارش اتمام کار.

خودآزمایی و خودارزیابی عملکرد کاری را انجام دهید.

9. تنظیم تکالیف

تکلیف روی تابلو نوشته شده است: شماره 1016 (الف، ب); 1017 (c,d); شماره 1021 (g,d,f)*

معلم:

پیشنهاد می کند قسمت اجباری تکلیف را برای خانه یادداشت کند.

در مورد اجرای آن نظر می دهد.

از دانش آموزان آماده تر دعوت می کند تا شماره 1021 (g, e, f) * را یادداشت کنند.

به شما می گوید برای درس مرور بعدی آماده شوید

چند جمله ای ها مهم ترین نوع بیان ریاضی هستند. بر اساس چند جمله ای ها، بسیاری از معادلات، نامساوی ها و توابع ساخته شده اند. مسائل با سطوح مختلف پیچیدگی اغلب شامل مراحل تبدیل چندجمله‌ای چندجمله‌ای هستند. از آنجایی که از نظر ریاضی هر چند جمله ای مجموع جبری چند تک جمله ای است، چشمگیرترین و ضروری ترین تغییر تبدیل سری یک چند جمله ای به حاصل ضرب دو (یا بیشتر) عامل است. در معادلاتی که قابلیت بازنشانی یکی از قسمت ها را دارند، تبدیل چند جمله ای به ضریب این امکان را فراهم می کند که مقداری از قسمت را با صفر برابر کنیم و در نتیجه کل معادله را حل کنیم.

دروس ویدیویی قبلی به ما نشان داد که در جبر خطی سه راه اصلی برای تبدیل چندجمله ای ها به عامل وجود دارد. این عبارت است از خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتزها، گروه بندی مجدد به عبارات مشابه و استفاده از فرمول های ضرب اختصاری. اگر همه اعضای یک چند جمله ای مبنای مشترک خاصی داشته باشند، آنگاه می توان آن را به راحتی از پرانتز خارج کرد و باقی مانده از تقسیمات را به شکل چند جمله ای اصلاح شده در پرانتز باقی گذاشت. اما اغلب، یک عامل با همه تک‌جملات مطابقت ندارد و تنها بخشی از آنها را تحت تأثیر قرار می‌دهد. در عین حال، بخش دیگری از یکپارچه ها ممکن است مبنای مشترک خود را داشته باشند. در چنین مواردی، از روشی برای گروه‌بندی استفاده می‌شود - اساساً عوامل متعددی را خارج از پرانتز قرار می‌دهند، و یک عبارت پیچیده ایجاد می‌کنند که می‌تواند به روش‌های دیگری تبدیل شود. و در نهایت، طیف کاملی از فرمول های خاص وجود دارد. همه آنها با محاسبات انتزاعی با استفاده از روش ضرب ساده ترم به ترم تشکیل می شوند. در طول محاسبات، بسیاری از عناصر در عبارت اولیه کاهش می‌یابند و چند جمله‌ای کوچک باقی می‌مانند. برای اینکه محاسبات فشرده را هر بار انجام ندهید، می توانید از فرمول های آماده، نسخه های معکوس آنها یا نتیجه گیری کلی این فرمول ها استفاده کنید.

در عمل، اغلب اتفاق می افتد که در یک تمرین باید چندین تکنیک را ترکیب کنید، از جمله تکنیک هایی از دسته تبدیل چند جمله ای ها. بیایید به یک مثال نگاه کنیم. فاکتورسازی با دو جمله ای:

ضریب مشترک 3x را از پرانتز خارج می کنیم:

3x3 - 3xy2 = 3x(x2 - y2)

همانطور که در ویدئو مشاهده می کنید، براکت دوم شامل اختلاف مربع ها است. ما فرمول معکوس را برای ضرب اختصاری اعمال می کنیم و به دست می آوریم:

3x(x2 - y2) = 3x(x + y)(x - y)

مثالی دیگر. بیایید عبارت را مانند:

18a2 - 48a + 32

ضرایب عددی را با خارج کردن این دو از پرانتز کاهش می دهیم:

18a2 - 48a + 32 = 2(9a2 - 24a + 16)

برای یافتن فرمول ضرب مختصر مناسب برای این مورد، لازم است که بیان را کمی تنظیم کنید و آن را با شرایط فرمول تنظیم کنید:

2(9a2 - 24a + 16) = 2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2)

گاهی اوقات دیدن فرمول در یک عبارت گیج کننده چندان آسان نیست. استفاده از روش‌هایی برای تجزیه یک عبارت به عناصر سازنده آن یا اضافه کردن جفت‌های ساختگی خیالی مانند +x-x ضروری است. هنگام تصحیح یک عبارت، باید قوانین تداوم علائم و حفظ معنای عبارت را رعایت کنیم. در عین حال، باید سعی کنید چند جمله ای را با نسخه انتزاعی فرمول مطابقت کامل دهید. با استفاده از مثال ما، فرمول اختلاف مربع را اعمال می کنیم:

2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2) = 2(3a - 4)

بیایید تمرین پیچیده تری را حل کنیم. بیایید چند جمله ای را فاکتور بگیریم:

У3 - 3у2 + 6у - 8

برای شروع، بیایید یک گروه بندی راحت را انجام دهیم - عناصر اول و چهارم در یک گروه، دوم و سوم - در گروه دوم:

U3 - 3y2 + 6y - 8 = (y3 - 8) - (3y2 - 6y)

لطفاً توجه داشته باشید که از آنجایی که منهای را به خارج از عبارت منتقل کرده‌ایم، علائم داخل پرانتز دوم به عکس تغییر کرده‌اند. در اولین پرانتز می توانیم این را بنویسیم:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y)

این به شما امکان می دهد تا فرمول ضرب اختصاری را برای یافتن تفاوت مکعب ها اعمال کنید:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y)

ضریب مشترک 3y را از براکت دوم خارج می کنیم و پس از آن براکت های (y - 2) را از کل عبارت (دوجمله ای) خارج می کنیم و اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم:

(y - 2)(y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) - 3y(y - 2) =
= (y - 2) (y2 + 2y + 4 - 3y) = (y - 2) (y2 - y + 4)

به طور کلی، الگوریتم خاصی از اقدامات هنگام حل چنین تمرین هایی وجود دارد.
1. ما به دنبال عوامل مشترک برای کل عبارت هستیم.
2. تک‌جملات مشابه را گروه‌بندی می‌کنیم و به دنبال عوامل مشترک برای آنها می‌گردیم.
3. سعی می کنیم مناسب ترین عبارت را در براکت قرار دهیم.
4. فرمول های ضرب مختصر را اعمال کنید.
5. اگر در مرحله‌ای روند ادامه پیدا نکند، یک جفت عبارات خیالی به شکل -x+x یا سایر ساخت‌های خود لغو شونده را وارد می‌کنیم.
6. اصطلاحات مشابه را ارائه می کنیم و عناصر غیر ضروری را کاهش می دهیم

همه نکات الگوریتم به ندرت در یک کار قابل اجرا هستند، اما روند کلی حل هر تمرین در مورد موضوع را می توان به ترتیب مشخص دنبال کرد.

طرح درس درس جبر پایه هفتم

معلم Prilepova O.A.

اهداف درس:

نمایش برنامه به طرق مختلفبرای عامل چند جمله ای

روش های فاکتورسازی را تکرار کنید و دانش خود را در طول تمرینات تثبیت کنید

مهارت‌ها و توانایی‌های دانش‌آموزان را در استفاده از فرمول‌های ضرب اختصاری توسعه دهید.

توسعه تفکر منطقی و علاقه دانش آموزان به موضوع.

وظایف:

در جهت توسعه شخصی:

توسعه علاقه به خلاقیت ریاضی و توانایی های ریاضی؛

توسعه ابتکار و فعالیت در حل مسائل ریاضی؛

توسعه توانایی تصمیم گیری مستقل.

در جهت فراسوژه :

شکل گیری روش های کلی فعالیت فکری، مشخصه ریاضیات و اساس فرهنگ شناختی.

استفاده از فناوری ICT؛

در حوزه موضوعی:

تسلط بر دانش و مهارت های ریاضی لازم برای ادامه تحصیل؛

ایجاد توانایی در دانش‌آموزان برای جست‌وجوی راه‌هایی برای فاکتورگیری چند جمله‌ای و یافتن آن‌ها برای چندجمله‌ای قابل فاکتورسازی.

تجهیزات:جزوات، برگه های مسیر با معیارهای ارزیابی،پروژکتور چند رسانه ای، ارائه.

نوع درس:تکرار، تعمیم و نظام مندی مطالب تحت پوشش

اشکال کار:کار به صورت جفتی و گروهی، فردی، جمعی،کار مستقل و جلویی

در طول کلاس ها:

مراحل	طرح		UUD
لحظه سازمان.	تقسیم به گروه ها و جفت ها: دانش آموزان شریک زندگی خود را بر اساس معیار زیر انتخاب می کنند: من کمترین ارتباط را با این همکلاسی دارم. خلق و خوی روانی: شکلک دلخواه خود را انتخاب کنید (حال و هوای شروع درس) و در زیر آن نمره ای را که می خواهید امروز در درس دریافت کنید (SLIDE) نگاه کنید. - در حاشیه دفتر خود، نمره ای را که می خواهید امروز در کلاس بگیرید، یادداشت کنید. شما نتایج خود را در جدول (SLIDE) علامت گذاری خواهید کرد. برگه مسیر. ورزش جمع مقطع تحصیلی معیارهای ارزیابی: 1. من همه چیز را به درستی و بدون خطا حل کردم - 5 2. هنگام حل مشکل، 1 تا 2 اشتباه کردم - 4 3. هنگام حل، من - از 3 تا 4 اشتباه - 3 4. هنگام حل، من بیش از 4 اشتباه مرتکب شدم - 2		رویکردهای نوین تدریس (گفتگو)
در حال بروز رسانی.	کار گروهی. - امروز در درس می توانید دانش خود را نشان دهید، در کنترل متقابل و خودکنترلی فعالیت های خود شرکت کنید. مطابقت (SLIDE): در اسلاید بعدی به عبارات توجه کنید، چه چیزی را متوجه شدید؟ (اسلاید) 15x3y2 + 5x2y خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز p 2 + pq - 3 p -3 q روش گروه بندی 16 متر 2 - 4 n 2 فرمول ضرب مختصر چگونه می توان این اعمال را در یک کلمه جمع کرد؟ (روش های بسط چند جمله ای ها) دانش آموزان موضوع و هدف درس را به عنوان وظیفه یادگیری خود تعیین می کنند (SLIDE). بر این اساس موضوع درس خود را تدوین کرده و هدف گذاری کنیم. سوالات دانش آموزان: موضوع درس را نام ببرید؛ هدف درس را تدوین کنید؛ همه کارت هایی با نام فرمول ها دارند. (دو نفره کار کنید). به همه فرمول ها دستور فرمول بدهید
کاربرد دانش	دوتایی کار کنید. بررسی اسلاید 1. پاسخ صحیح را انتخاب کنید (SLIDE). کارت ها: ورزش پاسخ (x+10)2= x2+100-20x x2+100+20x x2+100+10x (5у-7)2= 25у2+49-70у 25у2-49-70у 25у2+49+70 x2-16y2= (x-4y) (x+4y) (x-16y)(x+16y) (x+4y)(4y-x) (2a+c)(2a-c)= 4a2-b2 4a2+b2 2a2-b2 a3-8b3 a2+16-64v6 (a-8c)(a+8c) (a-2b)(a2+2av+4b2)	2. یافتن خطاها (SLIDE): شماره کارت بررسی اسلاید 1 جفت: o ( ب- y)2 = ب2 - 4 بy+y2 o 49- s2=(49-ج)(49+s) 2 جفت: o (p- 10)2=p2- 20p+10 o (2a+1)2=4a2+2a+1 3 جفت: o (3y+1)2=9y+6y+1 o ( ب- الف) 2 =ب2- 4بa+a2 4 جفت: o x²- 25= ( x-25)( 25+x) o (7- a)2=7- 14a+ a²	تحصیلات متناسب با سن
	3. به هر جفت یک کار و زمان محدودی برای حل آن داده می شود (SLIDE) با استفاده از کارت ها با پاسخ بررسی می کنیم. 1. این مراحل را دنبال کنید: a) (a + 3c)2; ب) x 2 - 12 x + 36 ; ج) 4v2-u2. 2. عامل به: a) ; ب)؛ در 2 x - a 2 y - 2 a 2 x + y 3-مقدار عبارت را بیابید: (7 p + 4) 2 -7 p (7 p - 2) در p = 5.		مدیریت و رهبری
	4. کار گروهی. نگاه کنید، اشتباه نکنید (SLIDE). کارت ها بیایید اسلاید را بررسی کنیم. (a+…)²=…+2…с+с² (…+y)²=x²+2x…+… (…+2x)²=y²+4xy+4x² (…+2 متر)²=9+…+4 متر مربع (n +2v)²= n ²+…+4v²		آموزش تفکر انتقادی. مدیریت و رهبری
	5. کار گروهی (مشاوره در مورد راه حل ها، بحث در مورد وظایف و راه حل های آنها) به هر یک از اعضای گروه وظایفی در سطوح A، B، C داده می شود. هر یک از اعضای گروه یک کار عملی را انتخاب می کند. کارت ها (اسلاید) چک کردن با کارت های پاسخ سطح A 1. آن را به عواملی تبدیل کنید: الف) c 2 - a 2 ; ب) 5x2-45؛ ج) 5a2+10ав+5v2; د) ax2-4ax+4a 2. این مراحل را دنبال کنید: a) (x - 3) (x + 3); ب) (x - 3)2; ج) x (x - 4). سطح B 1. ساده کردن: a) (3a+p)(3a-p) + p2; ب) (a+11)2 - 20a; ج) (a-4)(a+4) -2a(3-a). 2. محاسبه کنید: الف) 962 - 862; ب) 1262 - 742. سطح C 1. معادله را حل کنید: (7 x - 8) (7 x + 8) - (25 x - 4)2 + 36(1 - 4 x )2 =44 1. معادله را حل کنید: (12 x - 4) (12 x + 4) - (12 x - 1)2 - (4 x - 5) = 16. 1.		آموزش تیزهوشان و تیزهوشان
خلاصه درس	- بیایید آن را جمع بندی کنیم و بر اساس نتایج جدول برآوردها را استخراج کنیم. نتایج خود را با نمره تخمینی خود مقایسه کنید. شکلک متناسب با رتبه شما را انتخاب کنید (SLIDE). ج) معلم - کار کلاس را ارزیابی می کند (فعالیت، سطح دانش، توانایی ها، مهارت ها، خود سازماندهی، کوشش) کار مستقلدر قالب یک آزمون با تأیید RESERVE		ارزشیابی برای یادگیری و ارزشیابی یادگیری
مشق شب	ادامه فرمول های ضرب اختصاری را آموزش می دهد.
انعکاس	بچه ها لطفاً به تمثیل گوش کنید: (SLIDE) حکیمی راه افتاد و سه نفر با گاری سواری با او ملاقات کردند سنگ برای ساخت معبد. حکیم ایستاد و از هر کدام پرسید سوال از نفر اول پرسید: تمام روز چه کار کردی؟ و او با پوزخند پاسخ داد که تمام روز سنگ های لعنتی را حمل کرده است. نفر دوم پرسید: تمام روز چه کار کردی؟ ” و او پاسخ داد: من وظیفه خود را با وجدان انجام دادم. و سومی به او لبخند زد، صورتش از شادی و لذت روشن شد و پاسخ داد: «الف من در ساخت معبد شرکت کردم." به نظر شما معبد چیست؟ (دانش) بچه ها! چه کسی از اول شخص کار کرد؟ (نمایش شکلک ها) (رتبه 3 یا 2) (SLIDE) چه کسانی با وجدان کار کردند؟ (امتیاز 4) چه کسی در ساخت معبد دانش شرکت کرد؟ (امتیاز 5)		آموزش تفکر انتقادی

این یکی از اساسی ترین راه ها برای ساده سازی یک عبارت است. برای اعمال این روش، قانون توزیعی ضرب نسبت به جمع را به یاد بیاوریم (از این کلمات نترسید، قطعاً این قانون را می شناسید، فقط ممکن است نام آن را فراموش کرده باشید).

قانون می گوید: برای ضرب کردن مجموع دو عدد در یک عدد سوم، باید هر جمله را در این عدد ضرب کنید و نتایج حاصل را جمع کنید، به عبارت دیگر، .

شما همچنین می توانید عملیات معکوس را انجام دهید و این عمل معکوس است که ما را مورد توجه قرار می دهد. همانطور که از نمونه مشاهده می شود، عامل مشترک a را می توان از براکت خارج کرد.

یک عملیات مشابه را می توان هم با متغیرهایی مانند و برای مثال و هم با اعداد انجام داد: .

بله، این یک مثال بسیار ابتدایی است، درست مانند مثالی که قبلا داده شد، با تجزیه یک عدد، زیرا همه می‌دانند که اعداد بر بخش‌پذیر هستند، اما اگر یک عبارت پیچیده‌تر به دست آورید، چه می‌شود:

چگونه متوجه می شوید که مثلاً یک عدد بر چه چیزی بخش پذیر است؟ و برای این نشانه هایی از تقسیم پذیری وجود دارد، این نشانه ها واقعا ارزش دانستن دارند، آنها به شما کمک می کنند تا به سرعت بفهمید که آیا می توان عامل مشترک را از براکت خارج کرد یا خیر.

نشانه های تقسیم پذیری

به خاطر سپردن آنها چندان دشوار نیست؛ به احتمال زیاد، بیشتر آنها قبلاً برای شما آشنا بودند و برخی از آنها یک کشف مفید جدید خواهند بود، جزئیات بیشتر در جدول:

توجه: جدول فاقد آزمون بخش پذیری بر 4 است. اگر دو رقم آخر بر 4 بخش پذیر باشد، کل عدد بر 4 بخش پذیر است.

خوب، شما علامت را چگونه دوست دارید؟ من به شما توصیه می کنم آن را به خاطر بسپارید!

خب برگردیم به بیان، شاید بتواند آن را از پرانتز خارج کند و بس؟ نه، ریاضیدانان تمایل به ساده سازی دارند، بنابراین تا حد زیادی، هر چیزی که تحمل می شود را تحمل کن!

و بنابراین، همه چیز در بازی مشخص است، اما در مورد قسمت عددی عبارت چطور؟ هر دو عدد فرد هستند، بنابراین شما نمی توانید بر آن تقسیم کنید

می‌توانید از آزمون بخش‌پذیری استفاده کنید: مجموع ارقام، و، که عدد را تشکیل می‌دهند، برابر است، و بخش‌پذیر بر، یعنی قابل بخش‌پذیر بر.

با دانستن این موضوع، می توانید با خیال راحت به یک ستون تقسیم کنید و در نتیجه تقسیم بر ما بدست می آوریم (علائم تقسیم پذیری مفید است!). بنابراین، می‌توانیم عدد را مانند y از داخل پرانتز خارج کنیم و در نتیجه داریم:

برای اطمینان از اینکه همه چیز به درستی گسترش یافته است، می توانید با ضرب کردن، بسط را بررسی کنید!

عامل مشترک را نیز می توان در قالب قدرت بیان کرد. در اینجا مثلاً ضریب مشترک را می بینید؟

همه اعضای این عبارت خز دارند - آنها را بیرون می آوریم، همه آنها تقسیم می شوند - دوباره آنها را بیرون می آوریم، ببین چه اتفاقی افتاده است: .

2. فرمول ضرب اختصاری

فرمول‌های ضرب اختصاری قبلاً در تئوری ذکر شده‌اند؛ اگر در به خاطر سپردن آن‌ها مشکل دارید، باید حافظه خود را تازه کنید.

خوب، اگر خود را بسیار باهوش می‌دانید و برای خواندن چنین ابری از اطلاعات تنبل هستید، کافی است ادامه دهید، به فرمول‌ها نگاه کنید و فوراً مثال‌ها را در نظر بگیرید.

ماهیت این تجزیه این است که به فرمول خاصی در عبارت مقابل توجه کنید، آن را اعمال کنید و در نتیجه حاصلضرب چیزی و چیزی را بدست آورید، این همه تجزیه است. فرمول های زیر عبارتند از:

حالا سعی کنید عبارات زیر را با استفاده از فرمول های بالا فاکتور بگیرید:

این چیزی است که باید اتفاق می افتاد:

همانطور که ممکن است متوجه شده باشید، این فرمول ها بسیار هستند راه موثرفاکتورسازی، همیشه مناسب نیست، اما می تواند بسیار مفید باشد!

3. روش گروه بندی یا گروه بندی

در اینجا یک مثال دیگر برای شما آورده شده است:

پس با آن چه می خواهید بکنید؟ به نظر می رسد که چیزی به و به، و چیزی به و در تقسیم شده است

اما شما نمی توانید همه چیز را با هم به یک چیز تقسیم کنید، خوب هیچ عامل مشترکی در اینجا وجود ندارد، مهم نیست که چگونه به نظر می آیید، چه چیزی را باید اینطور رها کنید، بدون اینکه آن را در فاکتورها قرار دهید؟

در اینجا باید نبوغ نشان دهید و نام این نبوغ گروه بندی است!

دقیقا زمانی استفاده می شود که همه اعضا مقسوم علیه مشترک نداشته باشند. برای گروه بندی نیاز دارید گروه هایی از اصطلاحات را پیدا کنید که دارای عوامل مشترک هستندو آنها را طوری تنظیم کنید که از هر گروه یک فاکتور بدست آید.

البته لازم نیست آنها را دوباره مرتب کنید، اما این باعث وضوح می شود؛ برای وضوح، می توانید قسمت های جداگانه عبارت را در پرانتز قرار دهید؛ قرار دادن آنها به اندازه دلخواه ممنوع نیست، نکته اصلی این است که گیج نکنید. نشانه.

آیا همه اینها خیلی واضح نیست؟ بگذارید با یک مثال توضیح دهم:

در یک چند جمله ای - ما عبارت را - بعد از عبارت - می گیریم

دو عبارت اول را با هم در یک براکت جداگانه گروه بندی می کنیم و جمله های سوم و چهارم را نیز گروه بندی می کنیم و علامت منفی را از براکت خارج می کنیم.

اکنون به هر یک از دو "شمع" که عبارت را با پرانتز تقسیم کردیم، به طور جداگانه نگاه می کنیم.

ترفند این است که آن را به انبوه هایی تقسیم کنید که بتوان بزرگترین عامل را از آن ها خارج کرد، یا مانند این مثال، سعی کنید اصطلاحات را گروه بندی کنید تا پس از حذف عوامل از روی انبوه ها از داخل پرانتز، همچنان همان عبارات را داشته باشیم. داخل براکت ها

از هر دو براکت فاکتورهای مشترک اصطلاحات را از براکت اول خارج می کنیم و از دومی به دست می آوریم:

اما این تجزیه نیست!

پالاغتجزیه باید فقط ضرب باقی بماند، اما در حال حاضر چند جمله ای ما به سادگی به دو قسمت تقسیم می شود ...

ولی! این چند جمله ای یک عامل مشترک دارد. این

فراتر از براکت و محصول نهایی را دریافت می کنیم

بینگو! همانطور که می بینید، قبلاً یک محصول در اینجا وجود دارد و در خارج از پرانتز هیچ جمع یا تفریقی وجود ندارد، تجزیه کامل است، زیرا ما دیگر چیزی برای خارج کردن از پرانتز نداریم.

ممکن است معجزه به نظر برسد که پس از خارج کردن فاکتورها از داخل پرانتز، عبارات مشابهی در پرانتز باقی ماندیم که دوباره آنها را خارج از براکت گذاشتیم.

و این به هیچ وجه معجزه نیست، واقعیت این است که مثال های موجود در کتاب های درسی و در آزمون یکپارچه دولتی به طور خاص ساخته شده اند به طوری که اکثر عبارات در وظایف برای ساده سازی یا فاکتورسازیبا رویکرد درست به آنها، آنها به راحتی ساده می شوند و وقتی دکمه ای را فشار می دهید به شدت مانند یک چتر فرو می ریزند، بنابراین در هر عبارت به دنبال همان دکمه باشید.

حواسم پرت شد، با ساده انگاری چه کار می کنیم؟ چند جمله ای پیچیده شکل ساده تری به خود گرفت: .

موافقید، آنقدر که بود حجیم نیست؟

4. انتخاب یک مربع کامل.

گاهی اوقات، برای اعمال فرمول‌های ضرب اختصاری (تکرار موضوع)، لازم است چند جمله‌ای موجود را تبدیل کنیم و یکی از جمله‌های آن را به صورت مجموع یا تفاضل دو جمله ارائه کنیم.

در چه مواردی باید این کار را انجام دهید، از مثال یاد خواهید گرفت:

یک چند جمله ای در این شکل را نمی توان با استفاده از فرمول های ضرب اختصاری بسط داد، بنابراین باید تبدیل شود. شاید در ابتدا برای شما مشخص نباشد که کدام عبارت را باید به کدام تقسیم کرد، اما با گذشت زمان یاد خواهید گرفت که بلافاصله فرمول های ضرب اختصاری را مشاهده کنید، حتی اگر کاملاً وجود نداشته باشند، و به سرعت تعیین می کنید که چه چیزی از دست رفته است. فرمول کامل، اما در حال حاضر - یاد بگیرید، یک دانش آموز، یا بهتر است یک دانش آموز.

برای فرمول کامل اختلاف مجذور، در اینجا به جای آن نیاز دارید. بیایید جمله سوم را به عنوان یک تفاوت تصور کنیم، دریافت می کنیم: برای عبارت داخل پرانتز، می توانید فرمول مربع تفاوت را اعمال کنید. (با اختلاف مربع ها اشتباه نشود!!!)، داریم: ، برای این عبارت می توانیم فرمول تفاوت مربع ها را اعمال کنیم (با اختلاف مجذور اشتباه نشود!!!)، با تصور چگونگی به دست می آوریم: .

یک عبارت فاکتورسازی شده همیشه ساده‌تر و کوچک‌تر از آنچه قبل از بسط بود به نظر نمی‌رسد، اما در این شکل انعطاف‌پذیرتر می‌شود، به این معنا که شما لازم نیست نگران تغییر علائم و سایر مزخرفات ریاضی باشید. خوب، اینجا برای شماست تصمیم مستقل، عبارات زیر باید فاکتورسازی شوند.

مثال ها:

پاسخ ها:

5. فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم

برای تجزیه یک مثلث درجه دوم به عوامل، به نمونه های بیشتر تجزیه مراجعه کنید.

نمونه هایی از 5 روش برای فاکتورگیری چند جمله ای

1. خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز. مثال ها.

آیا یادتان هست قانون توزیع چیست؟ این قاعده است:

مثال:

چند جمله ای را فاکتور بگیرید.

راه حل:

مثالی دیگر:

آن را فاکتور بگیرید.

راه حل:

اگر کل عبارت از براکت ها خارج شود، به جای آن یک واحد در پرانتز باقی می ماند!

2. فرمول ضرب اختصاری. مثال ها.

فرمول هایی که ما اغلب استفاده می کنیم عبارتند از تفاوت مربع ها، تفاوت مکعب ها و مجموع مکعب ها. آیا این فرمول ها را به خاطر دارید؟ اگر نه، موضوع را فوراً تکرار کنید!

مثال:

بیان را فاکتور بگیرید.

راه حل:

در این عبارت به راحتی می توان به تفاوت مکعب ها پی برد:

مثال:

راه حل:

3. روش گروه بندی. مثال ها

گاهی اوقات می‌توانید عبارت‌ها را به گونه‌ای تعویض کنید که از هر جفت عبارت مجاور، فاکتور یکسانی استخراج شود. این عامل مشترک را می توان از براکت خارج کرد و چند جمله ای اصلی به یک محصول تبدیل می شود.

مثال:

چند جمله ای را فاکتور بگیرید.

راه حل:

بیایید اصطلاحات را به صورت زیر گروه بندی کنیم:
.

در گروه اول فاکتور مشترک را از پرانتز خارج می کنیم و در گروه دوم - :
.

حالا عامل مشترک را نیز می توان از پرانتز خارج کرد:
.

4. روش انتخاب مربع کامل. مثال ها.

اگر بتوان چند جمله ای را به عنوان اختلاف مربع های دو عبارت نشان داد، تنها چیزی که باقی می ماند اعمال فرمول ضرب اختصاری (تفاوت مربع ها) است.

مثال:

چند جمله ای را فاکتور بگیرید.

راه حل:مثال:

\begin(آرایه)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(مربع\ مجموع\ ((\سمت چپ (x+3 \راست))^(2)))-9-7=((\چپ(x+3 \راست))^(2))-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \راست) \\
\پایان (آرایه)

چند جمله ای را فاکتور بگیرید.

راه حل:

\begin(آرایه)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(square\ differents((\left(((x)^(2))-2 \right))^(2))-4-1=((\left(((x)^ (2))-2 \راست))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \راست) \\
\پایان (آرایه)

5. فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم. مثال.

یک مثلث مربع چند جمله ای از شکل است که در آن - مجهول، - برخی اعداد و.

مقادیر متغیری که باعث ناپدید شدن سه جمله ای درجه دوم می شود، ریشه های سه جمله ای نامیده می شود. بنابراین، ریشه های یک مثلثی، ریشه های یک معادله درجه دوم هستند.

قضیه.

مثال:

بیایید سه جمله درجه دوم را فاکتور بگیریم: .

ابتدا معادله درجه دوم را حل می کنیم: حالا می توانیم فاکتورگیری این سه جمله درجه دوم را بنویسیم:

حالا نظر شما...

ما به تفصیل توضیح داده ایم که چگونه و چرا یک چند جمله ای را فاکتور کنیم.

ما مثال های زیادی از نحوه انجام این کار در عمل آوردیم، به دام ها اشاره کردیم، راه حل دادیم...

چه می گویید؟

نظر شما در مورد این مقاله چیست؟ آیا از این تکنیک ها استفاده می کنید؟ آیا ماهیت آنها را درک می کنید؟

در نظرات بنویسید و ... برای امتحان آماده شوید!

تا اینجا او مهمترین در زندگی شماست.

وجود دارد چندین راه مختلففاکتورگیری یک چند جمله ای اغلب، در عمل، نه یک، بلکه چندین روش به طور همزمان استفاده می شود. در اینجا نمی توان ترتیب خاصی از اقدامات وجود داشت؛ در هر مثال همه چیز فردی است. اما می توانید سعی کنید به ترتیب زیر عمل کنید:

1. اگر عامل مشترکی وجود دارد، آن را از براکت خارج کنید.

2. پس از این، سعی کنید چند جمله ای را با استفاده از فرمول های ضرب اختصاری فاکتور بگیرید.

3. اگر بعد از این هنوز نتیجه لازم را دریافت نکردیم، باید سعی کنیم از روش گروه بندی استفاده کنیم.

فرمول ضرب مختصر

1. a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b);

2. (a+b)^2 = a^2+2*a*b+b^2;

3. (a-b)^2 = a^2-2*a*b+b^2;

4. a^3+b^3 = (a+b)*(a^2 - a*b+b^2);

5. a^3 - b^3 = (a-b)*(a^2 + a*b+b^2);

حال برای تقویت این موضوع، به چند مثال نگاه می کنیم:

مثال 1.

فاکتور چند جمله ای: (a^2+1)^2 - 4*a^2

ابتدا فرمول ضرب اختصاری "تفاوت مربع ها" را اعمال می کنیم و براکت های داخلی را باز می کنیم.

(a^2+1)^2 - 4*a^2 = ((a^2+1)-2*a)*((a^2+1)+2*a) = (a^2+1 -2*a)*(a^2+1+2*a);

توجه داشته باشید که در داخل پرانتز عباراتی برای مجذور مجموع و مجذور اختلاف دو عبارت به دست آورده ایم. بیایید آنها را اعمال کنیم و پاسخ را دریافت کنیم.

a^2+1-2*a)*(a^2+1+2*a) = (a-1)^2*(a+1)^2;

پاسخ:(a-1)^2*(a+1)^2;

مثال 2.

چند جمله ای 4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y را عامل کنید.

همانطور که به طور مستقیم می بینیم، هیچ یک از روش ها در اینجا مناسب نیستند. اما دو مربع وجود دارد که می توان آنها را گروه بندی کرد. بیایید تلاش کنیم.

4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y = (4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y);

ما فرمول اختلاف مربع ها را در براکت اول دریافت کردیم و در براکت دوم یک ضریب مشترک دو وجود دارد. بیایید فرمول را اعمال کنیم و عامل مشترک را برداریم.

(4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y)= (2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y);

مشاهده می شود که دو براکت یکسان وجود دارد. بیایید آنها را به عنوان یک عامل مشترک در نظر بگیریم.

(2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y) = (2*x+y)*(2*x - y)+2)= (2*x+y) )*(2*x-y+2);

پاسخ:(2*x+y)*(2*x-y+2);

همانطور که می بینید، هیچ روش جهانی وجود ندارد. با تجربه، مهارت به دست می آید و فاکتورگیری چند جمله ای ها بسیار آسان خواهد بود.