Sezioni: Matematica

Tipo di lezione:

• secondo la modalità di erogazione - una lezione laboratoriale;
• per scopi didattici - una lezione sull'applicazione di conoscenze e abilità.

Bersaglio: sviluppare la capacità di fattorizzare un polinomio.

Compiti:

• Didattico: sistematizzare, espandere e approfondire la conoscenza, competenze degli studenti, applicare vari metodi per fattorizzare un polinomio. Sviluppare la capacità di utilizzare la fattorizzazione di un polinomio combinando varie tecniche. Implementare conoscenze e competenze sull'argomento: "Scomposizione di un polinomio" per completare compiti sia a livello base che compiti di maggiore complessità.
• Sviluppo: sviluppare l'attività mentale attraverso la risoluzione di vari tipi di problemi, imparare a trovare e analizzare i metodi di soluzione più razionali, contribuire alla formazione della capacità di generalizzare i fatti studiati, esprimere i propri pensieri in modo chiaro e chiaro.
• Educativo: sviluppare competenze di autonomia e lavoro di squadra, capacità di autocontrollo.

Metodi di lavoro:

• verbale;
• visivo;
• pratico.

Attrezzatura per le lezioni: lavagna interattiva o lavagna luminosa, tabelle con formule di moltiplicazione abbreviate, istruzioni, Dispensa per lavorare in gruppo.

Struttura della lezione:

1. Organizzare il tempo. 1 minuto
2. Formulare l'argomento, lo scopo e gli obiettivi della lezione pratica. 2 minuti
3. Controllo dei compiti. 4 minuti
4. Aggiornamento delle conoscenze e delle competenze di base degli studenti. 12 minuti
5. Minuto di educazione fisica. 2 minuti
6. Istruzioni su come completare le attività del workshop. 2 minuti
7. Svolgere compiti in gruppi. 15 minuti
8. Controllo e discussione dei compiti. Analisi del lavoro. 3 minuti
9. Impostazione dei compiti. 1 minuto
10. Prenota posti di lavoro. 3 minuti

Durante le lezioni

1. Momento organizzativo

L'insegnante verifica la disponibilità della classe e degli studenti per la lezione.

2. Formulare l'argomento, lo scopo e gli obiettivi della lezione laboratoriale

• Messaggio sulla lezione finale sull'argomento.
• Motivazione per le attività di apprendimento degli studenti.
• Formulare l'obiettivo e stabilire gli obiettivi della lezione (insieme agli studenti).

3. Controllo dei compiti

Alla lavagna ci sono esempi di soluzioni degli esercizi per casa n. 943 (a, c); N. 945 (c, d). I campioni sono stati realizzati dagli studenti della classe. (Questo gruppo di studenti è stato identificato nella lezione precedente; hanno formalizzato la loro decisione durante la pausa). Gli studenti si preparano a “difendere” le soluzioni.

Insegnante:

Controlla la presenza dei compiti nei quaderni degli studenti.

Invita gli studenti della classe a rispondere alla domanda: “Quali difficoltà ha causato il completamento del compito?”

Si offre di verificare la tua soluzione con la soluzione sulla lavagna.

Invita gli studenti alla lavagna a rispondere alle domande che gli studenti hanno sul posto durante il controllo utilizzando i campioni.

Commenta le risposte degli studenti, integra le risposte e chiarisce (se necessario).

Riassume il completamento dei compiti.

Studenti:

Presentare i compiti all'insegnante.

Si scambiano i quaderni (in coppia) e si controllano a vicenda.

Rispondi alle domande dell'insegnante.

Controlla la tua soluzione con i campioni.

Fanno da avversari, fanno aggiunte, correzioni, scrivono un metodo diverso se il metodo di soluzione sul quaderno differisce dal metodo sulla lavagna.

Chiedere agli studenti e all'insegnante le spiegazioni necessarie.

Trovare modi per verificare i risultati ottenuti.

Partecipare alla valutazione della qualità dei compiti svolti nel consiglio.

4. Aggiornamento delle conoscenze e delle competenze di base degli studenti

1. Lavoro orale

Insegnante:

Rispondere alle domande:

1. Cosa significa fattorizzare un polinomio?
2. Quanti metodi di decomposizione conosci?
3. Quali sono i loro nomi?
4. Qual è il più comune?

2. I polinomi sono scritti alla lavagna:

1.14x3 – 14x5

2. 16x 2 – (2 + x) 2

3. 9 – x 2 – 2хy – y 2

4.x3 - 3x – 2

Insegnante invita gli studenti a fattorizzare i polinomi n. 1-3:

• Opzione I – applicando un fattore comune;
• Opzione II – utilizzo di formule di moltiplicazione abbreviate;
• Opzione III - secondo il metodo di raggruppamento.

A uno studente viene chiesto di fattorizzare il polinomio n. 4 (un compito individuale di maggiore difficoltà, il compito viene completato nel formato A 4). Quindi sulla lavagna viene visualizzata una soluzione di esempio per i compiti n. 1-3 (eseguita dall'insegnante), una soluzione di esempio per il compito n. 4 (eseguita dallo studente).

3. Riscaldamento

L'insegnante dà istruzioni per fattorizzare e selezionare la lettera associata alla risposta corretta. Aggiungendo le lettere si ottiene il nome del più grande matematico del XVII secolo, che diede un enorme contributo allo sviluppo della teoria della risoluzione delle equazioni. (Cartesio)

5. Lezione di educazione fisica Le dichiarazioni vengono lette agli studenti. Se l'affermazione è vera, gli studenti dovrebbero alzare la mano e, se è falsa, sedersi ai loro banchi. (Appendice 2)

6. Istruzioni su come completare le attività del workshop.

Sulla lavagna interattiva o su un poster separato è presente una tabella con le istruzioni.

Quando si fattorizza un polinomio, è necessario osservare il seguente ordine:

1. mettere tra parentesi il fattore comune (se presente);

2. applicare formule di moltiplicazione abbreviate (se possibile);

3. applicare il metodo del raggruppamento;

4. controlla il risultato ottenuto dalla moltiplicazione.

Insegnante:

Presenta le istruzioni agli studenti (si concentra sul passaggio 4).

Offre il completamento dei compiti del workshop in gruppi.

Distribuisce ai gruppi fogli di lavoro, fogli con carta carbone per la preparazione dei compiti sui quaderni e il loro successivo controllo.

Imposta il tempo per lavorare in gruppi e lavorare sui notebook.

Studenti:

Leggi le istruzioni.

Gli insegnanti ascoltano attentamente.

Seduti in gruppi (4-5 persone).

Prepararsi a svolgere un lavoro pratico.

7. Svolgere compiti in gruppi

Fogli di lavoro con compiti per gruppi. (Appendice 3)

Insegnante:

Gestisce il lavoro autonomo in gruppi.

Valuta la capacità degli studenti di lavorare in modo indipendente, la capacità di lavorare in gruppo e la qualità della progettazione del foglio di lavoro.

Studenti:

Completa le attività sui fogli di carta carbone inclusi nella cartella di lavoro.

Discutere i modi per prendere decisioni razionali.

Preparare un foglio di lavoro dal gruppo.

Preparati a difendere il lavoro completato.

8. Controllare e discutere il completamento dell'attività

Risposte sulla lavagna interattiva.

Insegnante:

Raccoglie copie delle decisioni.

Gestisce la reportistica degli studenti sui fogli di lavoro.

Offre un'autovalutazione del tuo lavoro, confrontando le risposte di quaderni, fogli di lavoro ed esempi alla lavagna.

Mi ricorda i criteri per l'assegnazione dei voti al lavoro e per la partecipazione alla sua realizzazione.

Fornisce chiarimenti sulle decisioni emergenti o sui problemi di autovalutazione.

Riassume i primi risultati del lavoro pratico e della riflessione.

Riassume (insieme agli studenti) la lezione.

Si dice che i risultati finali saranno riassunti dopo aver controllato le copie del lavoro completato dagli studenti.

Studenti:

Consegnare copie all'insegnante.

I fogli di lavoro sono allegati alla lavagna.

Relazione sull'ultimazione dei lavori.

Effettuare l'autoesame e l'autovalutazione della prestazione lavorativa.

9. Impostazione dei compiti

I compiti sono scritti alla lavagna: n. 1016 (a, b); 1017 (c,d); N. 1021 (g,d,f)*

Insegnante:

Si offre di annotare la parte obbligatoria del compito per casa.

Fornisce un commento sulla sua implementazione.

Invita gli studenti più preparati a scrivere il n. 1021 (g, e, f)*.

Ti dice di prepararti per la prossima lezione di ripasso

I polinomi sono il tipo più importante di espressione matematica. Sulla base dei polinomi sono state costruite molte equazioni, disuguaglianze e funzioni. Problemi di vari livelli di complessità spesso contengono fasi di trasformazione versatile dei polinomi. Poiché matematicamente qualsiasi polinomio è una somma algebrica di più monomi, il cambiamento più drammatico e necessario è trasformare la serie di un polinomio in un prodotto di due (o più) fattori. Nelle equazioni che hanno la capacità di reimpostare una delle parti, la traduzione del polinomio in fattori consente di equiparare alcune parti a zero e quindi risolvere l'intera equazione.

Le precedenti lezioni video ci hanno mostrato che nell'algebra lineare ci sono tre modi principali per convertire i polinomi in fattori. Ciò significa togliere il fattore comune tra parentesi, raggrupparlo in termini simili e utilizzare formule di moltiplicazione abbreviate. Se tutti i membri di un polinomio hanno una certa base comune, allora può essere facilmente tolto tra parentesi, lasciando tra parentesi il resto delle divisioni sotto forma di un polinomio modificato. Ma il più delle volte, un fattore non si adatta a tutti i monomi, influenzandone solo una parte. Allo stesso tempo, un'altra parte dei monomi può avere la propria base comune. In questi casi, viene utilizzato un metodo di raggruppamento, essenzialmente mettendo diversi fattori tra parentesi e creando un'espressione complessa che può essere trasformata in altri modi. E infine, c'è tutta una serie di formule speciali. Tutti sono formati da calcoli astratti utilizzando il metodo della semplice moltiplicazione termine per termine. Durante i calcoli, molti elementi dell'espressione iniziale vengono ridotti, lasciando piccoli polinomi. Per non eseguire ogni volta calcoli intensivi, è possibile utilizzare formule già pronte, le loro versioni inverse o conclusioni generalizzate di queste formule.

In pratica, capita spesso che in un esercizio sia necessario combinare diverse tecniche, comprese quelle della categoria della trasformazione dei polinomi. Diamo un'occhiata a un esempio. Fattorizzare per binomio:

Prendiamo tra parentesi il fattore comune di 3x:

3x3 - 3xy2 = 3x(x2 - y2)

Come puoi vedere nel video, le seconde parentesi contengono la differenza dei quadrati. Applichiamo la formula inversa della moltiplicazione abbreviata, ottenendo:

3x(x2 - y2) = 3x(x + y)(x - y)

Un altro esempio. Trasformiamo l'espressione in questo modo:

18a2 - 48a + 32

Riduciamo i coefficienti numerici togliendo i due tra parentesi:

18a2 - 48a + 32 = 2(9a2 - 24a + 16)

Per trovare una formula di moltiplicazione abbreviata adatta per questo caso, è necessario modificare leggermente l'espressione, adattandola alle condizioni della formula:

2(9a2 - 24a + 16) = 2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2)

A volte non è così facile vedere la formula in un'espressione confusa. È necessario utilizzare metodi per scomporre un'espressione nei suoi elementi componenti o aggiungere coppie immaginarie di costruzioni, come +x-x. Quando si corregge un'espressione, bisogna rispettare le regole di continuità dei segni e di preservazione del significato dell'espressione. Allo stesso tempo, devi cercare di portare il polinomio nel pieno rispetto della versione astratta della formula. Usando il nostro esempio, applichiamo la formula della differenza quadrata:

2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2) = 2(3a - 4)

Risolviamo un esercizio più complesso. Fattorizziamo il polinomio:

У3 - 3у2 + 6у - 8

Per cominciare, effettuiamo un raggruppamento conveniente: il primo e il quarto elemento in un gruppo, il secondo e il terzo nel secondo:

U3 - 3a2 + 6a - 8 = (a3 - 8) - (3a2 - 6a)

Tieni presente che i segni nelle seconde parentesi sono cambiati al contrario, poiché abbiamo spostato il meno fuori dall'espressione. Nelle prime parentesi possiamo scrivere questo:

(a3 - (2)3) - (3a2 - 6a)

Ciò consente di applicare la formula di moltiplicazione abbreviata per trovare la differenza dei cubi:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6a) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6a)

Togliamo il fattore comune 3y dalle seconde parentesi, dopodiché togliamo le parentesi (y - 2) dall'intera espressione (binomio) e presentiamo termini simili:

(y - 2)(y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) - 3y(y - 2) =
= (y - 2)(y2 + 2y + 4 - 3y) = (y - 2)(y2 - y + 4)

In termini generali, esiste un certo algoritmo di azioni quando si risolvono tali esercizi.
1. Cerchiamo fattori comuni per l'intera espressione;
2. Raggruppiamo monomi simili e cerchiamo per loro fattori comuni;
3. Cerchiamo di mettere tra parentesi l'espressione più appropriata;
4. Applicare formule di moltiplicazione abbreviate;
5. Se a un certo punto il processo non procede, inseriamo una coppia immaginaria di espressioni della forma -x+x, o altre costruzioni autocancellanti;
6. Presentiamo termini simili e riduciamo gli elementi non necessari

Tutti i punti dell'algoritmo sono raramente applicabili in un compito, ma il corso generale per risolvere qualsiasi esercizio sull'argomento può essere seguito in un determinato ordine.

PIANO DELLE LEZIONI lezione di algebra in 7a elementare

Insegnante Prilepova O.A.

Obiettivi della lezione:

Mostra applicazione in vari modi fattorizzare un polinomio

Ripetere i metodi di fattorizzazione e consolidare le conoscenze durante gli esercizi

Sviluppare le competenze e le abilità degli studenti nell'uso delle formule di moltiplicazione abbreviate.

Sviluppare il pensiero logico e l’interesse degli studenti per l’argomento.

Compiti:

nella direzione crescita personale:

Sviluppare l’interesse per la creatività matematica e le abilità matematiche;

Sviluppo di iniziativa e attività nella risoluzione di problemi matematici;

Sviluppare la capacità di prendere decisioni indipendenti.

nella direzione del metasoggetto :

Formazione di metodi generali di attività intellettuale, caratteristici della matematica e che sono la base della cultura cognitiva;

Utilizzo della tecnologia ICT;

nell'area tematica:

Padronanza delle conoscenze e delle competenze matematiche necessarie per la formazione continua;

Sviluppare negli studenti la capacità di cercare modi per fattorizzare un polinomio e trovarli per un polinomio che può essere fattorizzato.

Attrezzatura:dispense, schede percorso con criteri di valutazione,proiettore multimediale, presentazione.

Tipo di lezione:ripetizione, generalizzazione e sistematizzazione del materiale trattato

Forme di lavoro:lavoro in coppia e in gruppo, individuale, collettivo,lavoro autonomo e frontale.

Durante le lezioni:

Fasi	Piano		UUD
Momento dell'organizzazione.	Suddivisione in gruppi e coppie: Gli studenti scelgono il loro partner in base al seguente criterio: comunico meno con questo compagno di classe. Stato d'animo psicologico: Seleziona un'emoticon a tua scelta (l'atmosfera per l'inizio della lezione) e sotto guarda il voto che vorresti ricevere oggi nella lezione (SLIDE). — A margine del tuo quaderno scrivi il voto che vorresti ricevere oggi in classe. Segnerai i tuoi risultati nella tabella (SLIDE). Esercizio totale Grado Criteri di valutazione: 1. Ho risolto tutto correttamente, senza errori - 5 2. Durante la risoluzione del problema, ho commesso da 1 a 2 errori: 4 3. Durante la risoluzione ho commesso - da 3 a 4 errori - 3 4. Durante la risoluzione del problema, ho commesso più di 4 errori: 2		Nuovi approcci all'insegnamento (dialogo)
In aggiornamento.	Lavoro di squadra. - Oggi nella lezione potrai mostrare le tue conoscenze, partecipare al controllo reciproco e all'autocontrollo delle tue attività Partita (DIAPOSITIVA): Nella diapositiva successiva presta attenzione alle espressioni, cosa noti? (DIAPOSITIVA) 15x3y2 + 5x2y Togliendo il fattore comune tra parentesi p 2 + pq - 3 p -3 q Metodo di raggruppamento 16 m2 - 4 n2 Formula di moltiplicazione abbreviata Come si possono combinare queste azioni in una parola? (Metodi di espansione dei polinomi) Gli studenti impostano l'argomento e l'obiettivo della lezione come proprio compito di apprendimento (SLIDE). Sulla base di ciò, formuliamo l'argomento della nostra lezione e fissiamo gli obiettivi. Domande per gli studenti: Assegna un nome all'argomento della lezione; Formulare lo scopo della lezione; Ognuno ha delle carte con il nome delle formule. (Lavoro in coppia). Fornisci istruzioni di formula a tutte le formule
Applicazione della conoscenza	Lavoro in coppia. Controllo della diapositiva 1.Scegli la risposta corretta (SLIDE). Carte: Esercizio Risposta (x+10)2= x2+100-20x x2+100+20x x2+100+10x (5-7)2= 25у2+49-70у 25у2-49-70у 25у2+49+70 x2-16y2= (x-4a)(x+4a) (x-16 anni)(x+16 anni) (x+4y)(4y-x) (2a+c)(2a-c)= 4a2-b2 4a2+b2 2a2-b2 a3-8b3 a2+16-64v6 (a-8c)(a+8c) (a-2b)(a2+2av+4b2)	2.Trova errori (SLIDE): Carte n. Controllo della diapositiva 1 paio: o ( B- sì)2 = B2 - 4 By+y2 o 49- s2=(49-C)(49+) 2 paia: o (p- 10)2=p2- 20p+10 o (2a+1)2=4a2+2a+1 3 paia: o (3a+1)2=9a+6a+1 o ( B- a)2 =B²-4Ba+a2 4 paia: o x²- 25= ( x-25)( 25+x) o (7- a)2=7- 14a+ a²	Educazione adeguata all’età
	3. Ad ogni coppia viene assegnato un compito e un tempo limitato per risolverlo (SLIDE). Controlliamo utilizzando le carte con le risposte. 1. Segui questi passaggi: a) (a + 3c)2; B) x2 - 12 x + 36 ; c) 4в2-у2. 2. Fattore in: a) ; B) ; alle 2 x - a 2 y - 2 a 2 x + y 3.Trova il valore dell'espressione: (7 p + 4)2 -7 p (7 p - 2) in p = 5.		Gestione e leadership
	4. Lavoro di gruppo. Guarda, non commettere errori (SLIDE). Carte. Controlliamo la diapositiva. (a+…)²=…+2…с+с² (…+y)²=x²+2x…+… (…+2x)²=y²+4xy+4x² (…+2 mq)²=9+…+4 mq (n+2v)²= n²+…+4v²		Insegnare il pensiero critico. Gestione e leadership
	5. Lavoro di gruppo (consultazione sulle soluzioni, discussione dei compiti e delle relative soluzioni) Ad ogni membro del gruppo vengono assegnati compiti di livello A, B, C. Ogni membro del gruppo sceglie un compito fattibile. Carte. (Diapositiva) Verifica utilizzando le carte con le risposte Livello A 1. Scomponilo in fattori: a) c2-a2 ; b) 5x2-45; c) 5а2+10â+5â2; d) ax2-4ax+4a 2. Seguire questi passaggi: a) (x - 3)(x + 3); b) (x - 3)2; c)x(x-4). Livello B 1. Semplifica: a) (3a+p)(3a-p) + p2; b) (a+11)2 - 20a; c) (a-4)(a+4) -2a(3-a). 2. Calcolare: a) 962 - 862; b) 1262-742. Livello C 1. Risolvi l'equazione: (7 x - 8) (7 x + 8) - (25 x - 4)2 + 36(1 - 4 x )2 =44 1. Risolvi l'equazione: (12 x - 4) (12 x + 4) - (12 x - 1)2 - (4 x - 5) = 16. 1.		Educazione dei talenti e dei dotati
Riepilogo della lezione	— Riassumiamo i risultati e ricaviamo delle stime in base ai risultati della tabella. Confronta i tuoi risultati con il voto stimato. Seleziona un'emoticon che corrisponde alla tua valutazione (SLIDE). c) insegnante - valuta il lavoro della classe (attività, livello di conoscenza, abilità, abilità, auto-organizzazione, diligenza) Lavoro indipendente sotto forma di test con RISERVA di verifica		Valutazione dell'apprendimento e valutazione dell'apprendimento
Compiti a casa	Continua insegna le formule di moltiplicazione abbreviate.
Riflessione	Ragazzi, per favore ascoltate la parabola: (SLIDE) Un saggio camminava e tre persone lo incontrarono, guidando i carri Pietre per la costruzione del Tempio. Il saggio si fermò e chiese a ciascuno di loro Domanda. Ha chiesto al primo: "Che cosa hai fatto tutto il giorno?" E lui rispose con un sorriso che aveva portato quelle maledette pietre tutto il giorno. Il secondo ha chiesto: “Che cosa hai fatto tutto il giorno?” " E lui ha risposto: “Ho fatto il mio lavoro coscienziosamente”. E il terzo gli sorrise, il suo volto si illuminò di gioia e di piacere, e rispose: “A Ho preso parte alla costruzione del Tempio." Cosa pensi che sia il Tempio? (Conoscenza) Ragazzi! Chi ha lavorato dalla prima persona? (mostra emoticon) (Voto 3 o 2) (SLIDE) Chi ha lavorato coscienziosamente? (Punteggio 4) Chi ha preso parte alla costruzione del Tempio della Conoscenza? (Punteggio 5)		Insegnare il pensiero critico

Questo è uno dei modi più semplici per semplificare un'espressione. Per applicare questo metodo, ricordiamo la legge distributiva della moltiplicazione relativa all'addizione (non aver paura di queste parole, conosci sicuramente questa legge, potresti averne dimenticato il nome).

La legge dice: per moltiplicare la somma di due numeri per un terzo numero, è necessario moltiplicare ciascun termine per questo numero e sommare il risultato risultante, in altre parole .

Puoi anche fare l'operazione inversa, ed è proprio questa operazione inversa che ci interessa. Come si può vedere dal campione, il fattore comune a può essere tolto dalla parentesi.

Un'operazione simile può essere fatta sia con variabili, come e, ad esempio, sia con numeri: .

Sì, questo è un esempio molto elementare, proprio come l'esempio fatto prima, con la scomposizione di un numero, perché tutti sanno che i numeri sono divisibili per, ma cosa succede se ottieni un'espressione più complicata:

Come fai a scoprire, ad esempio, per cosa è divisibile un numero? No, chiunque può farlo con una calcolatrice, ma senza di essa è difficile? E per questo ci sono segni di divisibilità, vale davvero la pena conoscere questi segni, ti aiuteranno a capire rapidamente se il fattore comune può essere tolto dalla parentesi.

Segni di divisibilità

Non è così difficile ricordarli, molto probabilmente, molti di loro ti erano già familiari, e alcuni saranno una nuova utile scoperta, maggiori dettagli nella tabella:

Nota: nella tabella manca il test di divisibilità per 4. Se le ultime due cifre sono divisibili per 4, allora l'intero numero è divisibile per 4.

Bene, come ti piace il segno? Ti consiglio di ricordartelo!

Bene, torniamo all'espressione, forse può toglierlo dal supporto e questo gli basta? No, i matematici tendono a semplificare, quindi al massimo, sopportare TUTTO ciò che viene sopportato!

E quindi, con il gioco tutto è chiaro, ma per quanto riguarda la parte numerica dell'espressione? Entrambi i numeri sono dispari, quindi non puoi dividere per

Puoi utilizzare il test di divisibilità: la somma delle cifre, e, che compongono il numero è uguale, e divisibile per, significa divisibile per.

Sapendo questo, puoi tranquillamente dividere in una colonna; come risultato della divisione per, otteniamo (i segni di divisibilità sono utili!). Quindi, possiamo togliere il numero tra parentesi, proprio come y, e come risultato abbiamo:

Per assicurarti che tutto sia stato espanso correttamente, puoi controllare l'espansione moltiplicando!

Il fattore comune può essere espresso anche in termini di potenza. Qui, ad esempio, vedi il moltiplicatore comune?

Tutti i membri di questa espressione hanno delle x - le togliamo, sono tutte divise per - le togliamo di nuovo, guarda cosa è successo: .

2. Formule di moltiplicazione abbreviate

Le formule di moltiplicazione abbreviate sono già state menzionate in teoria; se hai difficoltà a ricordare cosa sono, allora dovresti rinfrescarti la memoria.

Bene, se ti consideri molto intelligente e sei troppo pigro per leggere una tale nuvola di informazioni, continua a leggere, guarda le formule e affronta immediatamente gli esempi.

L'essenza di questa scomposizione è notare una certa formula nell'espressione che hai di fronte, applicarla e ottenere così il prodotto di qualcosa e qualcosa, questa è tutta la scomposizione. Di seguito le formule:

Ora prova a fattorizzare le seguenti espressioni utilizzando le formule sopra:

Ecco cosa sarebbe dovuto succedere:

Come avrai notato, queste formule sono molto modo effettivo fattorizzazione, non sempre è adatta, ma può essere molto utile!

3. Metodo di raggruppamento o raggruppamento

Ecco un altro esempio per te:

Allora cosa ne farai? Sembra che qualcosa sia diviso in e in, e qualcosa in e in

Ma non puoi dividere tutto insieme in una cosa, beh non c'è alcun fattore comune qui, non importa come sembri, cosa dovresti lasciarlo così, senza tenerlo in considerazione nei fattori?

Qui devi mostrare ingegnosità e il nome di questo ingegno è raggruppamento!

Si usa proprio quando non tutti i membri hanno divisori comuni. Per il raggruppamento di cui hai bisogno trovare gruppi di termini che hanno fattori comuni e riorganizzarli in modo che lo stesso fattore possa essere ottenuto da ciascun gruppo.

Certo, non è necessario riorganizzarli, ma questo dà chiarezza; per chiarezza puoi mettere tra parentesi le singole parti dell'espressione, non è vietato metterle quanto vuoi, l'importante è non confondere; i segni.

Tutto questo non è molto chiaro? Mi spiego con un esempio:

In un polinomio - mettiamo il termine - dopo il termine - otteniamo

raggruppiamo i primi due termini in una parentesi separata e raggruppiamo anche il terzo e il quarto termine, togliendo il segno meno dalla parentesi, otteniamo:

Ora esaminiamo separatamente ciascuna delle due “pile” in cui abbiamo diviso l'espressione tra parentesi.

Il trucco sta nel suddividerlo in pile da cui è possibile estrarre il fattore più grande o, come in questo esempio, provare a raggruppare i termini in modo che dopo aver rimosso i fattori dalle pile dalle parentesi, abbiamo ancora le stesse espressioni all'interno delle parentesi.

Da entrambe le parentesi togliamo i fattori comuni dei termini, dalla prima parentesi, dalla seconda otteniamo:

Ma questa non è decomposizione!

Pasino della scomposizione dovrebbe rimanere solo la moltiplicazione, ma per ora il nostro polinomio è semplicemente diviso in due parti...

MA! Questo polinomio ha un fattore comune. Questo

oltre la parentesi e otteniamo il prodotto finale

Bingo! Come puoi vedere qui c'è già un prodotto e fuori dalle parentesi non c'è né addizione né sottrazione, la scomposizione è completa, perché Non abbiamo altro da togliere dalle parentesi.

Può sembrare un miracolo che dopo aver tolto i fattori tra parentesi ci siano rimaste le stesse espressioni tra parentesi, che abbiamo nuovamente messo fuori parentesi.

E questo non è affatto un miracolo, il fatto è che gli esempi nei libri di testo e nell'Esame di Stato unificato sono realizzati appositamente in modo che la maggior parte delle espressioni nei compiti di semplificazione o fattorizzazione con il giusto approccio ad essi, si semplificano facilmente e si chiudono bruscamente come un ombrello quando si preme un pulsante, quindi cerca proprio quel pulsante in ogni espressione.

Mi sono distratto, cosa ci facciamo con la semplificazione? L'intricato polinomio assunse una forma più semplice: .

D'accordo, non è così ingombrante come prima?

4. Selezione di un quadrato completo.

A volte, per applicare formule di moltiplicazione abbreviate (ripetiamo l'argomento), è necessario trasformare un polinomio esistente, presentando uno dei suoi termini come somma o differenza di due termini.

In tal caso devi farlo, imparerai dall'esempio:

Un polinomio in questa forma non può essere espanso utilizzando formule di moltiplicazione abbreviate, quindi deve essere trasformato. Forse all'inizio non ti sarà chiaro quale termine dividere in quale, ma col tempo imparerai a vedere subito le formule della moltiplicazione abbreviata, anche se non sono del tutto presenti, e determinerai rapidamente cosa manca da la formula completa, ma per ora - impara, uno studente, o meglio uno scolaretto.

Per la formula completa per la differenza al quadrato, qui invece serve. Immaginiamo il terzo termine come differenza, otteniamo: All'espressione tra parentesi si può applicare la formula del quadrato della differenza (da non confondere con la differenza dei quadrati!!!), abbiamo: , a questa espressione possiamo applicare la formula della differenza dei quadrati (da non confondere con la differenza al quadrato!!!), immaginando come, otteniamo: .

Un'espressione fattorizzata non sempre appare più semplice e più piccola di quanto non fosse prima dell'espansione, ma in questa forma diventa più flessibile, nel senso che non devi preoccuparti di cambiare segni e altre sciocchezze matematiche. Bene, ecco per te decisione indipendente, è necessario fattorizzare le seguenti espressioni.

Esempi:

Risposte:​

5. Fattorizzazione di un trinomio quadratico

Per la scomposizione di un trinomio quadratico in fattori, vedere ulteriori esempi di scomposizione.

Esempi di 5 metodi per fattorizzare un polinomio

1. Togliere il fattore comune tra parentesi. Esempi.

Ricordi cos'è la legge distributiva? Questa è la regola:

Esempio:

Fattorizzare il polinomio.

Soluzione:

Un altro esempio:

Consideralo.

Soluzione:

Se l'intero termine viene tolto dalle parentesi, tra parentesi rimane invece un'unità!

2. Formule di moltiplicazione abbreviate. Esempi.

Le formule che utilizziamo più spesso sono differenza di quadrati, differenza di cubi e somma di cubi. Ricordi queste formule? In caso contrario, ripeti urgentemente l'argomento!

Esempio:

Fattorizza l'espressione.

Soluzione:

In questa espressione è facile scoprire la differenza dei cubi:

Esempio:

Soluzione:

3. Metodo di raggruppamento. Esempi

A volte è possibile scambiare i termini in modo da poter estrarre lo stesso fattore da ciascuna coppia di termini adiacenti. Questo fattore comune può essere tolto dalla parentesi e il polinomio originale si trasformerà in un prodotto.

Esempio:

Fattorizzare il polinomio.

Soluzione:

Raggruppiamo i termini come segue:
.

Nel primo gruppo togliamo il fattore comune tra parentesi, nel secondo - :
.

Ora il fattore comune può anche essere tolto dalle parentesi:
.

4. Metodo per selezionare un quadrato completo. Esempi.

Se il polinomio può essere rappresentato come la differenza dei quadrati di due espressioni, non resta che applicare la formula di moltiplicazione abbreviata (differenza dei quadrati).

Esempio:

Fattorizzare il polinomio.

Soluzione:Esempio:

\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(quadrato\ somma\ ((\sinistra (x+3 \destra))^(2)))-9-7=((\sinistra(x+3 \destra))^(2))-16= \\
=\sinistra(x+3+4 \destra)\sinistra(x+3-4 \destra)=\sinistra(x+7 \destra)\sinistra(x-1 \destra) \\
\end(array)

Fattorizzare il polinomio.

Soluzione:

\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(quadrato\differenze((\sinistra(((x)^(2))-2 \destra))^(2)))-4-1=((\sinistra(((x)^ (2))-2 \destra))^(2))-5= \\
=\sinistra(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \destra)\sinistra(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \destra) \\
\end(array)

5. Fattorizzazione di un trinomio quadratico. Esempio.

Un trinomio quadrato è un polinomio della forma, dove - l'ignoto, - alcuni numeri, e.

I valori della variabile che fanno svanire il trinomio quadratico si chiamano radici del trinomio. Pertanto, le radici di un trinomio sono le radici di un'equazione quadratica.

Teorema.

Esempio:

Fattorizziamo il trinomio quadratico: .

Innanzitutto, risolviamo l'equazione quadratica: ora possiamo scrivere la fattorizzazione di questo trinomio quadratico:

Ora la tua opinione...

Abbiamo descritto in dettaglio come e perché fattorizzare un polinomio.

Abbiamo fornito molti esempi di come farlo nella pratica, evidenziato insidie, fornito soluzioni...

Che ne dici?

Ti piace questo articolo? Utilizzi queste tecniche? Comprendi la loro essenza?

Scrivi nei commenti e... preparati all'esame!

Finora è la persona più importante della tua vita.

Esiste diversi modi fattorizzazione di un polinomio. Molto spesso, in pratica, non viene utilizzato uno, ma diversi metodi contemporaneamente. Non può esserci un ordine specifico di azioni qui; in ogni esempio tutto è individuale. Ma puoi provare a rispettare il seguente ordine:

1. Se esiste un fattore comune, toglilo dalla parentesi;

2. Successivamente, prova a scomporre il polinomio utilizzando formule di moltiplicazione abbreviate;

3. Se successivamente non abbiamo ancora ricevuto il risultato richiesto, dovremmo provare a utilizzare il metodo di raggruppamento.

Formule di moltiplicazione abbreviate

1. a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b);

2. (a+b)^2 = a^2+2*a*b+b^2;

3. (a-b)^2 = a^2-2*a*b+b^2;

4. a^3+b^3 = (a+b)*(a^2 - a*b+b^2);

5. a^3 - b^3 = (a-b)*(a^2 + a*b+b^2);

Ora, per rafforzare questo concetto, diamo un’occhiata ad alcuni esempi:

Esempio 1.

Fattorizza il polinomio: (a^2+1)^2 - 4*a^2

Per prima cosa applichiamo la formula di moltiplicazione abbreviata “differenza di quadrati” e apriamo le parentesi interne.

(a^2+1)^2 - 4*a^2 = ((a^2+1)-2*a)*((a^2+1)+2*a) = (a^2+1 -2*a)*(a^2+1+2*a);

Nota che tra parentesi otteniamo le espressioni per il quadrato della somma e il quadrato della differenza di due espressioni. Applichiamoli e otteniamo la risposta.

a^2+1-2*a)*(a^2+1+2*a) = (a-1)^2*(a+1)^2;

Risposta:(a-1)^2*(a+1)^2;

Esempio 2.

Fattorizza il polinomio 4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y.

Come possiamo vedere direttamente, nessuno dei metodi è adatto qui. Ma ci sono due quadrati, possono essere raggruppati. Proviamo.

4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y = (4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y);

Abbiamo la formula per la differenza dei quadrati nella prima parentesi e nella seconda parentesi c'è un fattore comune di due. Applichiamo la formula ed eliminiamo il fattore comune.

(4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y)= (2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y);

Si può vedere che ci sono due parentesi identiche. Eliminiamoli come fattore comune.

(2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y) = (2*x+y)*(2*x - y)+2)= (2*x+ y )*(2*x-y+2);

Risposta:(2*x+y)*(2*x-y+2);

Come puoi vedere, non esiste un metodo universale. Con l'esperienza, l'abilità acquisirà e la fattorizzazione dei polinomi sarà molto semplice.