بردار \(\overrightarrow(AB)\) را می توان حرکت یک نقطه از موقعیت \(A\) (شروع حرکت) به موقعیت \(B\) (پایان حرکت) در نظر گرفت. یعنی مسیر حرکت در این مورد مهم نیست فقط شروع و پایان مهم است!

\(\blacktriangleright\) دو بردار اگر روی یک خط یا روی دو خط موازی قرار بگیرند هم خط هستند.
در غیر این صورت، بردارها غیر خطی نامیده می شوند.

\(\blacktriangleright\) اگر جهات دو بردار خطی منطبق باشد، هم جهت نامیده می شوند.
اگر جهت آنها مخالف باشد، آنها را جهت مخالف می نامند.

قوانین اضافه کردن بردارهای خطی:

کارگردانی مشترک پایاناولین. سپس مجموع آنها بردار است که ابتدای آن با آغاز بردار اول و پایان آن با پایان بردار دوم منطبق است (شکل 1).

\(\blacktriangleright\) برای اضافه کردن دو خلاف جهت گیری شده استبردار، می توانیم بردار دوم را به تعویق بیندازیم آغاز شدهاولین. سپس مجموع آنها بردار است که ابتدای آن با شروع هر دو بردار منطبق است، طول برابر است با اختلاف طول بردارها، جهت منطبق با جهت بردار بلندتر است (شکل 2).

قوانین اضافه کردن بردارهای غیر خطی \(\overrightarrow (a)\) و \(\overrightarrow(b)\):

\(\blacktriangleright\) قانون مثلث (شکل 3).

لازم است که بردار \(\overrightarrow (b)\) را از انتهای بردار \(\overrightarrow (a)\) کنار بگذارید. سپس مجموع آن بردار است که ابتدای آن با ابتدای بردار \(\overrightarrow (a)\) و انتهای آن با انتهای بردار \(\overrightarrow (b)\) منطبق است.

\(\blacktriangleright\) قانون متوازی الاضلاع (شکل 4).

لازم است که بردار \(\overrightarrow (b)\) را از ابتدای بردار \(\overrightarrow (a)\) کنار بگذارید. سپس مقدار \(\Overright (a)+\Overright (b)\)– بردار منطبق با مورب متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارهای \(\overrightarrow (a)\) و \(\overrightarrow (b)\) (شروع آن با ابتدای هر دو بردار منطبق است).

\(\blacktriangleright\) برای پیدا کردن تفاوت دو بردار \(\overrightarrow (a)-\overrightarrow(b)\)، باید مجموع بردارهای \(\overrightarrow (a)\) و \(-\overrightarrow(b)\) را پیدا کنید: \(\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\)(شکل 5).

وظیفه 1 #2638

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

دن راست گوشه\(ABC\) با زاویه قائمه \(A\)، نقطه \(O\) مرکز دایره ای است که پیرامون این مثلث محصور شده است. مختصات برداری \(\overrightarrow(AB)=\(1;1\)\), \(\overrightarrow(AC)=\(-1;1\)\). مجموع مختصات بردار \(\overrightarrow(OC)\) را بیابید.

زیرا مثلث \(ABC\) مستطیل شکل است، سپس مرکز دایره محدود شده در وسط هیپوتانوس قرار دارد، یعنی. \(O\) وسط \(BC\) است.

توجه کنید که \(\overrightarrow(BC)=\overrightarrow(AC)-\overrightarrow(AB)\)از این رو، \(\overrightarrow(BC)=\(-1-1;1-1\)=\(-2;0\)\).

زیرا \(\overrightarrow(OC)=\dfrac12 \overrightarrow(BC)\)، آن \(\overrightarrow(OC)=\(-1;0\)\).

این بدان معنی است که مجموع مختصات بردار \(\overrightarrow(OC)\) برابر با \(-1+0=-1\) است.

پاسخ 1

وظیفه 2 #674

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

\(ABCD\) – چهار ضلعی است که در دو طرف آن بردارهای \(\overrightarrow(AB)\) , \(\overrightarrow(BC)\) , \(\overrightarrow(CD)\) , \(\overrightarrow( DA) \) . طول بردار را پیدا کنید \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)\).

\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AC)\), \(\overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) = \overrightarrow(AD)\)، سپس
\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AD) = \vec(0)\).
طول بردار تهی برابر با \(0\) است.

پس یک بردار را می توان به عنوان جابجایی درک کرد \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)\)– حرکت از \(A\) به \(B\) و سپس از \(B\) به \(C\) - در نهایت این حرکت از \(A\) به \(C\) است.

با این تعبیر بدیهی است که \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \vec(0)\)، زیرا در نهایت در اینجا از نقطه \(A\) به نقطه \(A\) منتقل شدیم، یعنی طول چنین حرکتی \(0\ است) یعنی بردار خود چنین حرکتی \(A\) است. (\vec(0)\) .

پاسخ: 0

وظیفه 3 #1805

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

متوازی الاضلاع \(ABCD\) داده می شود. قطرهای \(AC\) و \(BD\) در نقطه \(O\) قطع می شوند. بگذار، پس \(\overrightarrow(OA) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(OA) = \frac(1)(2)\overrightarrow(CA) = \frac(1)(2)(\overrightarrow(CB) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)( 2)(\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)(2)(-\vec(b) - \vec(a)) = - \frac(1)(2)\vec (a) - \frac(1)(2)\vec(b)\]\(\Rightarrow\) \(x = - \frac(1)(2)\) , \(y = - \frac(1)(2)\) \(\Rightarrow\) \(x + y = - 1\).

پاسخ 1

وظیفه 4 #1806

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

متوازی الاضلاع \(ABCD\) داده می شود. نقاط \(K\) و \(L\) به ترتیب در دو طرف \(BC\) و \(CD\) قرار دارند و \(BK:KC = 3:1\) و \(L\) است. نقطه وسط \ (CD\) . اجازه دهید \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\)، سپس \(\overrightarrow(KL) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)، جایی که \(x\) و \(y\) تعدادی اعداد هستند. عدد برابر با \(x + y\) را پیدا کنید.

\[\overrightarrow(KL) = \overrightarrow(KC) + \overrightarrow(CL) = \frac(1)(4)\overrightarrow(BC) + \frac(1)(2)\overrightarrow(CD) = \frac (1)(4)\overrightarrow(AD) + \frac(1)(2)\overrightarrow(BA) = \frac(1)(4)\vec(b) - \frac(1)(2)\vec (آ)\]\(\Rightarrow\) \(x = -\frac(1)(2)\) , \(y = \frac(1)(4)\) \(\Rightarrow\) \(x + y = -0 ,25\).

پاسخ: -0.25

وظیفه 5 #1807

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

متوازی الاضلاع \(ABCD\) داده می شود. نقاط \(M\) و \(N\) به ترتیب در دو طرف \(AD\) و \(BC\) قرار دارند، با \(AM:MD = 2:3\) و \(BN:NC = 3: 1\). اجازه دهید \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\)، سپس \(\overrightarrow(MN) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(MN) = \overrightarrow(MA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BN) = \frac(2)(5)\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(AB) + \frac(3 )(4)\overrightarrow(BC) = - \frac(2)(5)\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(AB) + \frac(3)(4)\overrightarrow(BC) = -\frac(2 )(5)\vec(b) + \vec(a) + \frac(3)(4)\vec(b) = \vec(a) + \frac(7)(20)\vec(b)\ ]\(\Rightarrow\) \(x = 1\) , \(y = \frac(7)(20)\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0.35\) .

پاسخ: 0.35

وظیفه 6 #1808

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

متوازی الاضلاع \(ABCD\) داده می شود. نقطه \(P\) روی مورب \(BD\)، نقطه \(Q\) در سمت \(CD\) و \(BP:PD = 4:1\) و \( CQ:QD = 1:9\) . اجازه دهید \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\)، سپس \(\overrightarrow(PQ) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)، جایی که \(x\) و \(y\) تعدادی اعداد هستند. عدد برابر با \(x\cdot y\) را پیدا کنید.

\[\شروع(جمع آوری) \overrightarrow(PQ) = \overrightarrow(PD) + \overrightarrow(DQ) = \frac(1)(5)\overrightarrow(BD) + \frac(9)(10)\overrightarrow( DC) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) =\\ = \frac(1)(5) (\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(BA)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AB)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)\overrightarrow(AD) + \frac(7)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5) \vec(b) + \frac(7)(10)\vec(a)\end(جمع آوری شده)\]

\(\Rightarrow\) \(x = \frac(7)(10)\) , \(y = \frac(1)(5)\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0, 14\). و \(ABCO\) - متوازی الاضلاع؛ \(AF \موازی BE\) و \(ABOF\) - متوازی الاضلاع \(\Rightarrow\) \[\overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(AF) = \vec(a) + \vec(b)\ ]\(\Rightarrow\) \(x = 1\) , \(y = 1\) \(\Rightarrow\) \(x + y = 2\) .

جواب: 2

دانش آموزان دبیرستانی که برای شرکت در آزمون دولتی واحد ریاضی آماده می شوند و در عین حال روی کسب نمرات مناسب حساب می کنند، باید حتماً موضوع "قوانین جمع و تفریق چندین بردار" را تکرار کنند. همانطور که از چندین سال تمرین مشاهده می شود، چنین وظایفی هر ساله در آزمون گواهینامه گنجانده می شود. اگر فارغ التحصیل با مشکلاتی از بخش "هندسه صفحه" مشکل داشته باشد، به عنوان مثال، که در آن باید قوانین جمع و تفریق بردارها را اعمال کرد، برای گذراندن موفقیت آمیز باید حتما مطالب را تکرار یا دوباره بفهمد. آزمون دولتی یکپارچه

پروژه آموزشی Shkolkovo رویکرد جدیدی را برای آمادگی برای آزمون گواهینامه ارائه می دهد. منبع ما به گونه ای ساخته شده است که دانش آموزان بتوانند سخت ترین بخش ها را برای خود شناسایی کنند و شکاف های دانش را پر کنند. متخصصان Shkolkovo همه را آماده و منظم کردند مواد مورد نیازبرای آمادگی برای قبولی در آزمون گواهینامه

برای اطمینان از اینکه کارهای USE که در آنها باید قوانین جمع و تفریق دو بردار را اعمال کنید مشکلی ایجاد نمی کند، توصیه می کنیم ابتدا حافظه خود را تازه کنید. مفاهیم اساسی. دانش آموزان می توانند این مطالب را در بخش "اطلاعات نظری" بیابند.

اگر قبلاً قانون تفریق بردارها و تعاریف اساسی در مورد این موضوع را به خاطر دارید، پیشنهاد می کنیم با انجام تمرینات مناسب که توسط متخصصان پورتال آموزشی Shkolkovo انتخاب شده است، دانش خود را تثبیت کنید. برای هر مشکل، سایت یک الگوریتم راه حل ارائه می دهد و پاسخ صحیح را می دهد. موضوع "قوانین جمع بردار" تمرین های مختلفی را ارائه می دهد. پس از انجام دو یا سه کار نسبتا آسان، دانش آموزان می توانند به طور متوالی به کارهای پیچیده تر بروند.

دانش‌آموزان این فرصت را دارند که مهارت‌های خود را در چنین وظایفی، به عنوان مثال، آنلاین، در حالی که در مسکو یا هر شهر دیگری در روسیه هستند، تقویت کنند. در صورت لزوم، کار را می توان در بخش "موارد دلخواه" ذخیره کرد. با تشکر از این، شما می توانید به سرعت نمونه های مورد علاقه خود را پیدا کنید و الگوریتم هایی را برای یافتن پاسخ صحیح با معلم خود بحث کنید.

تعریف استاندارد: "بردار یک بخش جهت دار است." این معمولاً میزان دانش فارغ التحصیلان در مورد بردارها است. چه کسی به «بخش های جهت دار» نیاز دارد؟

اما واقعاً بردارها چیست و برای چیست؟
پیش بینی آب و هوا. باد شمال غربی با سرعت 18 متر در ثانیه. موافقم، هم جهت باد (جایی که از آنجا می وزد) و هم بزرگی (یعنی قدر مطلق) سرعت آن مهم است.

به کمیت هایی که جهت ندارند اسکالر می گویند. دسته جمعی، کار، شارژ الکتریکیبه جایی هدایت نشده است آنها فقط با یک مقدار عددی مشخص می شوند - "چند کیلوگرم" یا "چند ژول".

کمیت های فیزیکی که نه تنها قدر مطلق، بلکه جهت نیز دارند، کمیت های برداری نامیده می شوند.

سرعت، نیرو، شتاب - بردارها. برای آنها "چقدر" مهم است و "کجا" مهم است. به عنوان مثال، شتاب گرانش به سمت سطح زمین است و مقدار آن 9.8 m/s 2 است. ضربه، قدرت میدان الکتریکی، القاء میدان مغناطیسی- همچنین مقادیر برداری.

به یاد دارید که مقادیر فیزیکی با حروف لاتین یا یونانی نشان داده می شوند. فلش بالای حرف نشان می دهد که مقدار بردار است:

در اینجا یک مثال دیگر است.
یک ماشین از A به B حرکت می کند. نتیجه نهایی- حرکت آن از نقطه A به نقطه B، یعنی حرکت بردار .

اکنون واضح است که چرا یک بردار یک قطعه جهت دار است. لطفا توجه داشته باشید که انتهای بردار جایی است که فلش قرار دارد. طول برداریطول این قطعه نامیده می شود. نشان داده شده توسط: یا

تا به حال بر اساس قواعد حساب و جبر ابتدایی با کمیت های اسکالر کار می کردیم. بردارها مفهوم جدیدی هستند. این یک کلاس دیگر از اشیاء ریاضی است. آنها قوانین خاص خود را دارند.

روزی روزگاری ما حتی چیزی در مورد اعداد نمی دانستیم. آشنایی من با آنها از دوران دبستان شروع شد. معلوم شد که اعداد را می توان با یکدیگر مقایسه کرد، جمع کرد، تفریق کرد، ضرب و تقسیم کرد. ما فهمیدیم که یک عدد یک و یک عدد صفر وجود دارد.
اکنون با بردارها آشنا می شویم.

مفاهیم "بیشتر" و "کمتر" برای بردارها وجود ندارد - از این گذشته ، جهت آنها می تواند متفاوت باشد. فقط طول های برداری را می توان با هم مقایسه کرد.

اما مفهوم برابری برای بردارها وجود دارد.
برابربردارهایی که طول و جهت یکسانی دارند نامیده می شوند. این بدان معنی است که بردار را می توان به موازات خود به هر نقطه از صفحه منتقل کرد.
تنهابرداری است که طول آن 1 است. صفر برداری است که طول آن صفر است یعنی ابتدای آن با انتها منطبق است.

راحت ترین کار با بردارها در یک سیستم مختصات مستطیلی است - همان سیستمی که در آن نمودارهای تابع را ترسیم می کنیم. هر نقطه در سیستم مختصات مربوط به دو عدد است - مختصات x و y آن، ابسیسا و مختصات.
بردار نیز با دو مختصات مشخص می شود:

در اینجا مختصات بردار در پرانتز نوشته می شود - در x و y.
آنها به سادگی یافت می شوند: مختصات انتهای بردار منهای مختصات ابتدای آن.

اگر مختصات بردار داده شود، طول آن با فرمول بدست می آید

اضافه بردار

دو راه برای اضافه کردن بردارها وجود دارد.

1 . قانون متوازی الاضلاع برای اضافه کردن بردارها و ، مبدا هر دو را در یک نقطه قرار می دهیم. تا یک متوازی الاضلاع می سازیم و از همان نقطه مورب متوازی الاضلاع را رسم می کنیم. این مجموع بردارها و .

افسانه قو، خرچنگ و پیک را به خاطر دارید؟ آنها خیلی تلاش کردند، اما هرگز گاری را جابه جا نکردند. از این گذشته، مجموع بردار نیروهایی که به گاری وارد کردند برابر با صفر بود.

2. راه دوم برای اضافه کردن بردارها قانون مثلث است. بیایید همان بردارها و . ابتدای دوم را به انتهای بردار اول اضافه می کنیم. حالا بیایید ابتدای اول و انتهای دوم را به هم وصل کنیم. این مجموع بردارها و .

با استفاده از همین قانون می توانید چندین بردار اضافه کنید. آنها را یکی پس از دیگری مرتب می کنیم و سپس ابتدای اولین را به انتهای آخرین وصل می کنیم.

تصور کنید که از نقطه A به نقطه B، از B به C، از C به D، سپس به E و به F می روید. نتیجه نهایی این اقدامات حرکت از A به F است.

وقتی بردارها را اضافه می کنیم و می گیریم:

تفریق برداری

بردار در جهت مخالف بردار است. طول بردارها و برابر هستند.

اکنون مشخص است که تفریق برداری چیست. تفاوت بردار و حاصل جمع بردار و بردار است.

ضرب بردار در عدد

وقتی یک بردار در عدد k ضرب می شود، برداری به دست می آید که طول آن k برابر طول آن متفاوت است. اگر k بزرگتر از صفر باشد با بردار هم جهت است و اگر k کوچکتر از صفر باشد مخالف است.

حاصل ضرب نقطه ای بردارها

بردارها را می توان نه تنها با اعداد، بلکه در یکدیگر ضرب کرد.

حاصل ضرب اسکالر بردارها حاصل ضرب طول بردارها و کسینوس زاویه بین آنهاست.

لطفاً توجه داشته باشید که ما دو بردار را ضرب کردیم و نتیجه یک عددی بود، یعنی یک عدد. به عنوان مثال، در فیزیک، کار مکانیکی برابر است با حاصل ضرب اسکالر دو بردار - نیرو و جابجایی:

اگر بردارها عمود باشند، حاصل ضرب اسکالر آنها صفر است.
و اینگونه است که حاصل ضرب اسکالر از طریق مختصات بردارها و:

از فرمول حاصل ضرب اسکالر می توانید زاویه بین بردارها را پیدا کنید:

این فرمول به ویژه در استریومتری راحت است. به عنوان مثال، در مسئله 14 از امتحان دولتی یکپارچه پروفایل در ریاضیات، باید زاویه بین خطوط متقاطع یا بین یک خط مستقیم و یک صفحه را پیدا کنید. مشکل 14 اغلب چندین برابر سریعتر از روش کلاسیک حل می شود.

در برنامه درسی ریاضی مدرسه فقط حاصل ضرب اسکالر بردارها تدریس می شود.
معلوم می شود که علاوه بر حاصل ضرب اسکالر، یک ضرب برداری نیز وجود دارد که حاصل ضرب دو بردار یک بردار باشد. هرکسی که در آزمون یکپارچه فیزیک شرکت کند می داند که نیروی لورنتس و نیروی آمپر چیست. فرمول های یافتن این نیروها شامل محصولات برداری است.

بردارها ابزار ریاضی بسیار مفیدی هستند. این را در سال اول خود خواهید دید.

بالاخره به این مبحث گسترده و مورد انتظار رسیدم. هندسه تحلیلی. ابتدا کمی در مورد این بخش از ریاضیات عالی ... مطمئناً اکنون یک دوره هندسه مدرسه با قضایای متعدد، اثبات‌ها، نقاشی‌ها و غیره را به خاطر دارید. چه چیزی را پنهان کنیم، موضوعی مورد علاقه و اغلب مبهم برای بخش قابل توجهی از دانش آموزان. هندسه تحلیلی، به اندازه کافی عجیب، ممکن است جالب تر و قابل دسترس تر به نظر برسد. صفت "تحلیلی" به چه معناست؟ دو عبارت کلیشه ای ریاضی بلافاصله به ذهن می رسد: «روش حل گرافیکی» و «روش حل تحلیلی». روش گرافیکیالبته با ساخت نمودارها و نقشه ها همراه است. تحلیلییا روششامل حل مشکلات است به طور عمدهاز طریق عملیات جبری در این راستا، الگوریتم حل تقریباً تمام مسائل هندسه تحلیلی ساده و شفاف است؛ اغلب کافی است فرمول های لازم را با دقت اعمال کنید - و پاسخ آماده است! خیر، البته، ما به هیچ وجه نمی توانیم بدون طراحی این کار را انجام دهیم، و علاوه بر این، برای درک بهتر مطالب، سعی می کنم آنها را فراتر از ضرورت ذکر کنم.

دوره تازه افتتاح شده دروس هندسه از نظر تئوری کامل نیست، بلکه بر حل مسائل عملی متمرکز است. من فقط آنچه را که از نظر من از نظر عملی مهم است، در سخنرانی های خود خواهم گنجاند. اگر در مورد هر زیربخش به کمک کامل تری نیاز دارید، من ادبیات کاملاً در دسترس زیر را توصیه می کنم:

1) چیزی که بدون شوخی، چندین نسل با آن آشنا هستند: کتاب هندسه مدرسه، نویسندگان - L.S. آتاناسیان و شرکت. این رختکن مدرسه تاکنون 20 (!) تجدید چاپ را پشت سر گذاشته است که البته محدودیتی برای آن وجود ندارد.

2) هندسه در 2 جلد. نویسندگان L.S. آتاناسیان، بازیلف وی.تی.. این ادبیات برای دبیرستان است، شما نیاز دارید جلد اول. کارهایی که به ندرت با آنها روبرو می شوم ممکن است از دید من خارج شوند، و آموزشکمک های ارزشمندی ارائه خواهد کرد.

هر دو کتاب را می توان به صورت آنلاین به صورت رایگان دانلود کرد. علاوه بر این، می توانید از آرشیو من استفاده کنید راه حل های آماده، که در صفحه قابل مشاهده است دانلود مثال در ریاضی بالاتر.

در بین ابزارها، من دوباره توسعه خودم را پیشنهاد می کنم - بسته نرم افزاریدر هندسه تحلیلی، که زندگی را تا حد زیادی ساده می کند و در زمان بسیار صرفه جویی می کند.

فرض بر این است که خواننده با مفاهیم و اشکال هندسی اساسی آشنا است: نقطه، خط، صفحه، مثلث، متوازی الاضلاع، متوازی الاضلاع، مکعب و غیره. توصیه می شود برخی از قضایا را به خاطر بسپارید، حداقل قضیه فیثاغورث، سلام به تکرار کنندگان)

و اکنون به ترتیب در نظر خواهیم گرفت: مفهوم بردار، اقدامات با بردارها، مختصات بردار. خواندن ادامه مطلب را توصیه می کنم مهمترین مقاله حاصل ضرب نقطه ای بردارها، و همچنین بردار و حاصلضرب مخلوط بردارها. یک کار محلی - تقسیم یک بخش از این نظر - نیز اضافی نخواهد بود. بر اساس اطلاعات فوق می توانید مسلط شوید معادله یک خط در یک صفحهبا ساده ترین نمونه های راه حل، که اجازه خواهد داد حل مسائل هندسه را یاد بگیرید. مقالات زیر نیز مفید هستند: معادله یک هواپیما در فضا, معادلات یک خط در فضا، مسائل اساسی در یک خط مستقیم و یک صفحه، بخش های دیگر هندسه تحلیلی. طبیعتاً در این مسیر وظایف استاندارد در نظر گرفته خواهد شد.

مفهوم برداری. وکتور رایگان

ابتدا اجازه دهید تعریف مدرسه از یک بردار را تکرار کنیم. بردارتماس گرفت جهت دارقسمتی که ابتدا و انتهای آن مشخص شده است:

که در در این موردابتدای قطعه نقطه است، انتهای قطعه نقطه است. خود بردار با نشان داده می شود. جهتضروری است، اگر فلش را به انتهای دیگر بخش منتقل کنید، یک بردار دریافت می کنید، و این قبلاً وجود دارد وکتور کاملا متفاوت. تشخیص مفهوم بردار با حرکت یک جسم فیزیکی راحت است: باید موافق باشید، ورود به درهای یک موسسه یا خروج از درهای یک موسسه چیزهای کاملاً متفاوتی است.

راحت است که نقاط جداگانه یک هواپیما یا فضا را به اصطلاح در نظر بگیرید بردار صفر. برای چنین بردار، پایان و آغاز بر هم منطبق است.

!!! توجه داشته باشید: در اینجا و بیشتر، می توانید فرض کنید که بردارها در یک صفحه قرار دارند یا می توانید فرض کنید که آنها در فضا قرار دارند - ماهیت مطالب ارائه شده برای هواپیما و فضا معتبر است.

نام گذاری ها:بسیاری بلافاصله متوجه چوب بدون فلش در نام شدند و گفتند، یک فلش نیز در بالا وجود دارد! درست است، شما می توانید آن را با یک فلش بنویسید: ، اما این امکان نیز وجود دارد ورودی که در آینده از آن استفاده خواهم کرد. چرا؟ ظاهراً این عادت به دلایل عملی ایجاد شد؛ تیراندازان من در مدرسه و دانشگاه بسیار متفاوت و پشمالو بودند. در ادبیات آموزشی، گاهی اوقات آنها اصلاً به خط میخی زحمت نمی‌دهند، بلکه حروف را به صورت پررنگ برجسته می‌کنند: و بدین ترتیب نشان می‌دهند که این یک بردار است.

این سبک شناسی بود و اکنون در مورد روش های نوشتن بردارها:

1) وکتورها را می توان با دو حرف بزرگ لاتین نوشت:
و غیره در این مورد، حرف اول لزومانقطه شروع بردار و حرف دوم نقطه پایان بردار را نشان می دهد.

2) وکتورها نیز با حروف کوچک لاتین نوشته می شوند:
به ویژه، بردار ما را می توان برای اختصار با یک حرف لاتین کوچک دوباره طراحی کرد.

طولیا مدولیک بردار غیر صفر طول قطعه نامیده می شود. طول بردار صفر صفر است. منطقی

طول بردار با علامت مدول نشان داده می شود:

ما یاد خواهیم گرفت که چگونه طول یک بردار را پیدا کنیم (یا بسته به اینکه چه کسی آن را تکرار می کنیم) کمی بعد.

این اطلاعات اولیه در مورد بردارها بود که برای همه دانش آموزان آشنا بود. در هندسه تحلیلی به اصطلاح وکتور رایگان.

به بیان ساده - بردار را می توان از هر نقطه ترسیم کرد:

ما عادت داریم که چنین بردارهایی را برابر بنامیم (تعریف بردارهای مساوی در زیر ارائه خواهد شد)، اما از نقطه نظر ریاضی محض، آنها همان بردار یا همان بردار هستند. وکتور رایگان. چرا رایگان؟ زیرا در طول حل مسائل، می توانید این یا آن بردار مدرسه را به هر نقطه از صفحه یا فضایی که نیاز دارید، "ضمیمه" کنید. این یک ویژگی بسیار جالب است! یک بخش جهت دار با طول و جهت دلخواه را تصور کنید - می توان آن را بی نهایت بار و در هر نقطه از فضا "کلون" کرد، در واقع، در همه جا وجود دارد. چنین دانشجویی وجود دارد که می گوید: هر استادی یک لعنتی در مورد بردار می دهد. از این گذشته ، این فقط یک قافیه شوخ نیست ، همه چیز تقریباً درست است - یک بخش کارگردانی شده را نیز می توان به آنجا اضافه کرد. اما برای شادی عجله نکنید، این خود دانش آموزان هستند که اغلب رنج می برند =)

بنابراین، وکتور رایگان- این یک دسته از بخش های هدایت شده یکسان تعریف مدرسه از یک بردار، که در ابتدای پاراگراف ارائه شده است: "به یک بخش جهت دار، یک بردار می گویند..." دلالت دارد. خاصیک بخش جهت دار گرفته شده از یک مجموعه معین، که به نقطه خاصی در صفحه یا فضا گره خورده است.

لازم به ذکر است که از دیدگاه فیزیک، مفهوم بردار آزاد به طور کلی نادرست است و نکته کاربرد مهم است. در واقع، یک ضربه مستقیم از همان نیرو به بینی یا پیشانی، که برای بیان مثال احمقانه من کافی است، پیامدهای متفاوتی را به دنبال دارد. با این حال، غیر رایگانبردارها نیز در دوره vyshmat یافت می شوند (آنجا نروید :)).

اقدامات با بردارها خط خطی بردارها

که در دوره مدرسههندسه، تعدادی عمل و قوانین با بردارها در نظر گرفته می شود: جمع بر اساس قانون مثلث، جمع بر اساس قانون متوازی الاضلاع، قانون تفاوت بردار، ضرب یک بردار در عدد، حاصل ضرب اسکالر بردارها و غیره.به عنوان نقطه شروع، اجازه دهید دو قانون را که مخصوصاً برای حل مسائل هندسه تحلیلی مرتبط هستند، تکرار کنیم.

قانون اضافه کردن بردارها با استفاده از قانون مثلث

دو بردار غیر صفر دلخواه را در نظر بگیرید و :

باید مجموع این بردارها را پیدا کنید. با توجه به اینکه همه بردارها آزاد در نظر گرفته می شوند، بردار را کنار می گذاریم پایانبردار:

مجموع بردارها بردار است. برای درک بهتر این قانون، توصیه می‌شود یک معنای فیزیکی در آن قرار دهید: اجازه دهید مقداری از بدن در امتداد بردار و سپس در امتداد بردار حرکت کند. سپس مجموع بردارها بردار مسیر به دست آمده با شروع در نقطه عزیمت و پایان در نقطه رسیدن است. یک قانون مشابه برای مجموع هر تعداد بردار فرموله شده است. همانطور که آنها می گویند، بدن می تواند مسیر خود را بسیار باریک در امتداد یک زیگزاگ، یا شاید در خلبان خودکار - در امتداد بردار حاصل از مجموع طی کند.

به هر حال، اگر بردار به تعویق افتاد از آغاز شدهبردار، سپس معادل را بدست می آوریم قانون متوازی الاضلاعافزودن بردارها

اول، در مورد هم خطی بردارها. دو بردار نامیده می شوند خطی، اگر روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار بگیرند. به طور کلی، ما در مورد بردارهای موازی صحبت می کنیم. اما در رابطه با آنها همیشه از صفت "هم خط" استفاده می شود.

دو بردار خطی را تصور کنید. اگر فلش های این بردارها در یک راستا باشند، چنین بردارهایی نامیده می شوند کارگردانی مشترک. اگر فلش ها در جهت های مختلف باشند، بردارها خواهند بود جهت های مخالف.

نام گذاری ها:هم خطی بردارها با نماد موازی معمول نوشته می شود: , در حالی که جزئیات ممکن است: (بردارها هم جهت هستند) یا (بردارها خلاف جهت هستند).

کاربردار غیر صفر روی یک بردار برداری است که طول آن برابر است و بردارها و هم جهت و خلاف جهت آن هستند.

قانون ضرب یک بردار در یک عدد با کمک یک تصویر ساده تر است:

بیایید با جزئیات بیشتری به آن نگاه کنیم:

1 مسیر. اگر ضریب منفی باشد، بردار تغییر جهت می دهدبرعکس

2) طول. اگر ضریب در داخل یا وجود داشته باشد، پس طول بردار کاهش می دهد. بنابراین، طول بردار نصف طول بردار است. اگر مدول ضریب بزرگتر از یک باشد، طول بردار افزایشبه موقع.

3) لطفا توجه داشته باشید که همه بردارها خطی هستند، در حالی که یک بردار از طریق دیگری بیان می شود، برای مثال، . برعکس آن هم درست است: اگر بتوان یک بردار را از طریق دیگری بیان کرد، آنگاه چنین بردارهایی لزوماً هم خط هستند. بدین ترتیب: اگر یک بردار را در یک عدد ضرب کنیم، به صورت خطی می‌شویم(نسبت به اصل) بردار.

4) بردارها به طور مشترک هدایت می شوند. بردارها و همچنین کارگردانی مشترک هستند. هر بردار گروه اول نسبت به هر بردار گروه دوم جهت مخالف دارد.

کدام بردارها برابرند؟

دو بردار اگر در یک جهت و طول یکسان باشند با هم برابرند. توجه داشته باشید که هم جهتی به معنای هم خطی بودن بردارها است. این تعریف نادرست (زائد) خواهد بود اگر بگوییم: "دو بردار مساوی هستند اگر هم خط و هم جهت و دارای طول یکسان باشند."

از نقطه نظر مفهوم بردار آزاد، بردارهای مساوی همان بردار هستند، همانطور که در پاراگراف قبل بحث شد.

مختصات برداری در هواپیما و در فضا

اولین نکته در نظر گرفتن بردارها در صفحه است. اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی را به تصویر بکشیم و آن را از مبدأ مختصات رسم کنیم تنهابردارها و:

بردارها و قائم. متعامد = عمود بر. توصیه می کنم کم کم به اصطلاحات عادت کنید: به جای موازی و عمود، به ترتیب از کلمات استفاده می کنیم. هم خطی بودنو متعامد بودن.

تعیین:متعامد بردارها با علامت عمودی معمول نوشته می شود، به عنوان مثال: .

بردارهای مورد بررسی نامیده می شوند بردارهای مختصاتیا orts. این بردارها تشکیل می شوند اساسروی سطح من فکر می‌کنم که مبنای چیست برای خیلی‌ها و بیشتر به طور شهودی روشن است اطلاعات دقیقرا می توان در مقاله یافت وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارهابه عبارت ساده، اساس و منشأ مختصات کل سیستم را تعریف می کند - این نوعی پایه است که یک زندگی هندسی کامل و غنی بر آن می جوشد.

گاهی اوقات پایه ساخته شده نامیده می شود متعارفاساس صفحه: "ارتو" - چون بردارهای مختصات متعامد هستند، صفت "normalized" به معنای واحد است، یعنی. طول بردارهای پایه برابر با یک است.

تعیین:اساس معمولاً در پرانتز نوشته می شود که داخل آن به ترتیب دقیقبردارهای پایه ذکر شده اند، به عنوان مثال: . بردارهای مختصات ممنوع استتنظیم مجدد.

هروکتور هواپیما تنها راهبیان شده به صورت:
، جایی که - شمارهکه نامیده می شوند مختصات برداریدر این مبنا و خود بیان تماس گرفت تجزیه برداریبر اساس .

شام سرو شده:

بیایید با حرف اول الفبا شروع کنیم: . ترسیم به وضوح نشان می دهد که هنگام تجزیه یک بردار به یک پایه، مواردی که قبلاً مورد بحث قرار گرفت استفاده می شود:
1) قانون ضرب بردار در عدد: و ;
2) جمع بردارها طبق قانون مثلث: .

اکنون به صورت ذهنی بردار را از هر نقطه دیگری از صفحه رسم کنید. کاملاً آشکار است که زوال او "بی امان او را دنبال خواهد کرد." اینجا آزادی بردار است - بردار "همه چیز را با خود حمل می کند." این ویژگی، البته، برای هر بردار صادق است. خنده دار است که خود بردارهای پایه (رایگان) لازم نیست از مبدا رسم شوند، یکی را می توان مثلاً در پایین سمت چپ و دیگری را در بالا سمت راست ترسیم کرد و چیزی تغییر نمی کند! درست است، شما نیازی به انجام این کار ندارید، زیرا معلم نیز اصالت را نشان می دهد و در مکانی غیرمنتظره به شما "اعتبار" می دهد.

بردارها دقیقاً قانون ضرب یک بردار در یک عدد را نشان می دهند، بردار با بردار پایه هم جهت است، بردار مخالف بردار پایه است. برای این بردارها، یکی از مختصات برابر با صفر است، می‌توانید آن را با دقت به این صورت بنویسید:


و بردارهای پایه، اتفاقا، اینگونه هستند: (در واقع، آنها از طریق خودشان بیان می شوند).

و در نهایت: ، . به هر حال، تفریق برداری چیست و چرا من در مورد قانون تفریق صحبت نکردم؟ جایی در جبر خطی، یادم نیست کجاست، اشاره کردم که تفریق یک مورد خاص از جمع است. بنابراین، بسط بردارهای "de" و "e" به راحتی به صورت مجموع نوشته می شوند: . نقشه را دنبال کنید تا ببینید که جمع خوب قدیمی بردارها طبق قانون مثلث چقدر در این موقعیت ها کار می کند.

تجزیه در نظر گرفته شده از فرم گاهی اوقات تجزیه برداری نامیده می شود در سیستم ort(یعنی در سیستمی از بردارهای واحد). اما این تنها راه برای نوشتن بردار نیست، گزینه زیر رایج است:

یا با علامت مساوی:

خود بردارهای پایه به صورت زیر نوشته می شوند: و

یعنی مختصات بردار در داخل پرانتز مشخص شده است. در مسائل عملی از هر سه گزینه علامت گذاری استفاده می شود.

شک داشتم که صحبت کنم، اما به هر حال می گویم: مختصات برداری را نمی توان دوباره مرتب کرد. به شدت در وهله اولمختصاتی را می نویسیم که با بردار واحد مطابقت دارد، به شدت در رتبه دوممختصاتی را می نویسیم که با بردار واحد مطابقت دارد. در واقع، و دو بردار متفاوت هستند.

ما مختصات را در هواپیما فهمیدیم. حالا بیایید به بردارها در فضای سه بعدی نگاه کنیم، اینجا تقریبا همه چیز یکسان است! فقط یک مختصات دیگر اضافه می کند. ساختن نقاشی های سه بعدی سخت است، بنابراین من خودم را به یک بردار محدود می کنم، که برای سادگی آن را از مبدا کنار می گذارم:

هروکتور فضای سه بعدی تنها راهگسترش بر اساس متعارف:
، مختصات بردار (عدد) در این مبنا کجاست.

نمونه ای از تصویر: . بیایید ببینیم قوانین برداری در اینجا چگونه کار می کنند. ابتدا بردار را در یک عدد ضرب کنید: (فلش قرمز)، (فلش سبز) و (فلش تمشک). ثانیاً، در اینجا مثالی از جمع چند بردار، در این مورد سه، آورده شده است: . بردار مجموع از نقطه شروع اولیه (ابتدای بردار) شروع می شود و در نقطه پایانی رسیدن (انتهای بردار) به پایان می رسد.

همه بردارهای فضای سه بعدی، طبیعتاً، نیز آزاد هستند؛ سعی کنید بردار را به صورت ذهنی از هر نقطه دیگری کنار بگذارید، و خواهید فهمید که تجزیه آن «با آن باقی خواهد ماند».

مشابه مورد تخت، علاوه بر نوشتن نسخه های دارای براکت به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرند: یا .

اگر یک (یا دو) بردار مختصات در بسط وجود نداشته باشد، صفرها به جای آنها قرار می گیرند. مثال ها:
بردار (با دقت ) - بیا بنویسیم ؛
بردار (با دقت ) - بیا بنویسیم ؛
بردار (با دقت ) - بیا بنویسیم .

بردارهای پایه به صورت زیر نوشته می شوند:

این، شاید، تمام حداقل دانش نظری لازم برای حل مسائل هندسه تحلیلی باشد. ممکن است اصطلاحات و تعاریف زیادی وجود داشته باشد، بنابراین توصیه می‌کنم قوری‌ها این اطلاعات را دوباره بخوانند و دوباره درک کنند. و رجوع هر از چند گاهی به درس پایه برای هر خواننده ای مفید خواهد بود تا مطالب را بهتر جذب کند. هم خطی، متعامد، مبنای متعامد، تجزیه برداری - این مفاهیم و مفاهیم دیگر اغلب در آینده استفاده خواهند شد. من می خواهم توجه داشته باشم که مواد موجود در سایت برای گذراندن یک آزمون نظری یا کلاسی در هندسه کافی نیست، زیرا من با دقت تمام قضایا (و بدون اثبات) را رمزگذاری می کنم - به ضرر سبک علمیارائه، اما یک نکته مثبت برای درک شما از موضوع. برای دریافت اطلاعات دقیق تئوری، لطفاً به پروفسور آتاناسیان تعظیم کنید.

و ما به بخش عملی آن می رویم:

ساده ترین مسائل هندسه تحلیلی
اعمال با بردارها در مختصات

بسیار توصیه می شود که یاد بگیرید چگونه وظایفی را که در نظر گرفته می شود حل کنید. تمام اتوماتیکو فرمول ها حفظ کردن، حتی لازم نیست عمداً آن را به خاطر بسپارید، آنها خودشان آن را به خاطر خواهند آورد =) این بسیار مهم است، زیرا سایر مسائل هندسه تحلیلی بر اساس ساده ترین مثال های ابتدایی است و صرف زمان اضافی برای خوردن پیاده ها آزار دهنده خواهد بود. . نیازی به بستن دکمه های بالای پیراهن نیست، چیزهای زیادی از دوران مدرسه برای شما آشناست.

ارائه مطالب یک دوره موازی را دنبال می کند - هم برای هواپیما و هم برای فضا. به این دلیل که تمام فرمول های ... را خودتان خواهید دید.

چگونه از دو نقطه بردار پیدا کنیم؟

اگر دو نقطه از صفحه داده شود، بردار دارای مختصات زیر است:

اگر دو نقطه در فضا داده شود، بردار مختصات زیر را دارد:

به این معنا که، از مختصات انتهای بردارباید مختصات مربوطه را کم کنید ابتدای بردار.

ورزش:برای همان نقاط، فرمول های یافتن مختصات بردار را بنویسید. فرمول ها در پایان درس.

مثال 1

با توجه به دو نقطه از هواپیما و . مختصات برداری را پیدا کنید

راه حل:طبق فرمول مناسب:

به طور متناوب، می توان از ورودی زیر استفاده کرد:

زیبایی‌شناسان در این مورد تصمیم خواهند گرفت:

شخصاً به نسخه اول ضبط عادت کرده ام.

پاسخ:

با توجه به شرط، نیازی به ساخت یک نقشه (که برای مسائل هندسه تحلیلی معمول است) نبود، اما برای روشن شدن برخی نکات برای آدمک ها، تنبل نخواهم بود:

حتما باید بفهمی تفاوت بین مختصات نقطه و مختصات برداری:

مختصات نقطه- اینها مختصات معمولی در یک سیستم مختصات مستطیلی هستند. من فکر می کنم همه می دانند که چگونه از کلاس پنجم تا ششم نقاط را در یک هواپیمای مختصات ترسیم کنند. هر نقطه دارای یک مکان دقیق در هواپیما است و نمی توان آنها را به جایی منتقل کرد.

مختصات بردار- این گسترش آن بر اساس اساس، در این مورد است. هر بردار آزاد است، بنابراین در صورت تمایل یا نیاز، می‌توانیم به راحتی آن را از نقطه دیگری در صفحه دور کنیم (برای جلوگیری از سردرگمی، طراحی مجدد آن، به عنوان مثال، با ). جالب است که برای بردارها اصلاً نیازی به ساخت محور یا سیستم مختصات مستطیلی ندارید، فقط به یک پایه نیاز دارید، در این مورد به یک پایه متعارف صفحه.

به نظر می رسد رکورد مختصات نقاط و مختصات بردارها مشابه باشد: و معنی مختصاتکاملا ناهمسان، و شما باید به خوبی از این تفاوت آگاه باشید. این تفاوت البته در مورد فضا نیز صدق می کند.

خانم ها و آقایان بیایید دستمان را پر کنیم:

مثال 2

الف) امتیاز و داده می شود. بردارها و .
ب) امتیاز داده شده است و . بردارها و .
ج) امتیاز و داده شده است. بردارها و .
د) امتیاز داده شده است. بردارها را پیدا کنید .

شاید همین کافی باشد. اینها نمونه هایی برای تصمیم مستقل، سعی کنید از آنها غافل نشوید، نتیجه می دهد ;-). نیازی به کشیدن نقاشی نیست. راه حل و پاسخ در پایان درس.

در حل مسائل هندسه تحلیلی چه چیزی مهم است؟مهم است که بسیار مراقب باشید تا از اشتباه استادانه «دو به علاوه دو برابر با صفر» اجتناب کنید. اگر جایی اشتباه کردم فورا عذرخواهی میکنم =)

چگونه طول یک قطعه را پیدا کنیم؟

طول، همانطور که قبلا ذکر شد، با علامت مدول نشان داده می شود.

اگر دو نقطه از صفحه داده شود و سپس طول قطعه را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد

اگر دو نقطه در فضا داده شود، می توان طول قطعه را با استفاده از فرمول محاسبه کرد

توجه داشته باشید: اگر مختصات مربوطه با هم عوض شوند، فرمول‌ها درست می‌مانند، اما گزینه اول استانداردتر است.

مثال 3

راه حل:طبق فرمول مناسب:

پاسخ:

برای وضوح، من یک نقاشی خواهم کرد

بخش خط - این یک بردار نیست، و، البته، شما نمی توانید آن را به جایی منتقل کنید. علاوه بر این، اگر به مقیاس ترسیم کنید: 1 واحد. = 1 سانتی متر (دو سلول نوت بوک)، سپس پاسخ به دست آمده را می توان با یک خط کش معمولی با اندازه گیری مستقیم طول قطعه بررسی کرد.

بله، راه حل کوتاه است، اما چند راه حل دیگر در آن وجود دارد نکات مهمکه من می خواهم توضیح دهم:

اولاً در پاسخ، بعد «واحدها» را قرار می دهیم. این وضعیت نمی‌گوید چه چیزی است، میلی‌متر، سانتی‌متر، متر یا کیلومتر. بنابراین، یک راه حل ریاضی درست، فرمول کلی خواهد بود: "واحدها" - به اختصار "واحدها".

ثانیا، اجازه دهید مطالب مدرسه را تکرار کنیم، که نه تنها برای کار در نظر گرفته شده مفید است:

توجه کن به تکنیک مهم – حذف ضریب از زیر ریشه. در نتیجه محاسبات، یک نتیجه داریم و سبک ریاضی خوب شامل حذف عامل از زیر ریشه (در صورت امکان) است. با جزئیات بیشتر، این روند به این صورت است: . بدیهی است که باقی گذاشتن پاسخ به همان شکلی که هست اشتباه نخواهد بود - اما مسلماً نقص و استدلالی سنگین برای سخن گفتن از جانب معلم خواهد بود.

در اینجا موارد رایج دیگری وجود دارد:

اغلب در ریشه به اندازه کافی وجود دارد عدد بزرگ، مثلا . در چنین مواقعی چه باید کرد؟ با استفاده از ماشین حساب بررسی می کنیم که آیا عدد بر 4 بخش پذیر است یا خیر. بله، به طور کامل تقسیم شد، به این ترتیب: . یا شاید دوباره بتوان عدد را بر 4 تقسیم کرد؟ . بدین ترتیب: . آخرین رقم عدد فرد است، بنابراین تقسیم بر 4 برای بار سوم بدیهی است که کار نخواهد کرد. بیایید سعی کنیم بر 9 تقسیم کنیم: . در نتیجه:
آماده.

نتیجه:اگر در زیر ریشه عددی به دست آوریم که نمی توان آن را به طور کلی استخراج کرد، سپس سعی می کنیم عامل را از زیر ریشه حذف کنیم - با استفاده از یک ماشین حساب بررسی می کنیم که آیا عدد بر تقسیم پذیر است: 4، 9، 16، 25، 36، 49 و غیره

در طول تصمیم گیری وظایف مختلفریشه ها رایج هستند، همیشه سعی کنید عوامل را از زیر ریشه استخراج کنید تا از نمره پایین تر و مشکلات غیرضروری در نهایی کردن راه حل های خود بر اساس نظرات معلم جلوگیری کنید.

بیایید ریشه های مربع و سایر قدرت ها را نیز تکرار کنیم:

قوانین اعمال با درجه در نمای کلیرا می توان در یک کتاب درسی مدرسه در مورد جبر یافت، اما من فکر می کنم از مثال های ارائه شده، همه چیز یا تقریباً همه چیز از قبل واضح است.

کار برای راه حل مستقل با یک بخش در فضا:

مثال 4

امتیاز و داده می شود. طول قطعه را پیدا کنید.

راه حل و پاسخ در پایان درس است.

چگونه طول یک بردار را پیدا کنیم؟

اگر یک بردار صفحه داده شود، طول آن با فرمول محاسبه می شود.

اگر بردار فضایی داده شود، طول آن با فرمول محاسبه می شود .

این فرمول ها (و همچنین فرمول های طول یک قطعه) به راحتی با استفاده از قضیه معروف فیثاغورث به دست می آیند.