معمولاً به مثلث معینی گفته می شود که طول آن همه اضلاع یکسان نباشد همه کاره.

مثلثی با دو ضلع مساوی را نشان می دهند متساوی الساقین. معمولاً اضلاع یکسان نامیده می شود جانبی، شخص ثالث - اساستعریف زیر نیز به همان اندازه درست خواهد بود پایه های مثلثیضلعی از مثلث متساوی الساقین است که با دو ضلع دیگر برابر نیست.

که در مثلث متساوی الساقینزوایای پایه برابر است ارتفاع، میانه، نیمسازیک مثلث متساوی الساقین که به قاعده آن کشیده شده است، ترکیب می شوند.

مثلث، با همه اضلاع مساوی، به عنوان نشان داده می شود متساوی الاضلاعیا درست. در یک مثلث متساوی الاضلاع، تمام زوایا 60 درجه هستند و مرکز دایره های محاط شده و محاط شده در یک راستا قرار دارند.

انواع مثلث ها بسته به پارامترهای زاویه.

مثلثی که در آن فقط زوایای کمتر از 90 0 (حاد) نامیده می شود حاد زاویه دار.

مثلثی که دارای زاویه 90 0 باشد نامیده می شود مستطیل شکل. معمولاً اضلاع مثلثی که زاویه قائمه تشکیل می دهند مشخص می شوند پاها، و ضلع مقابل زاویه قائمه است هیپوتنوئوس.

مثلث - تعریف و مفاهیم کلی

مثلث یک چند ضلعی ساده است که از سه ضلع تشکیل شده و تعداد زوایا یکسانی دارد. صفحات آن توسط 3 نقطه و 3 بخش محدود شده است که این نقاط را به صورت جفت به هم متصل می کند.

تمام رئوس هر مثلث، صرف نظر از نوع آن، با حروف بزرگ لاتین مشخص می شوند و اضلاع آن با نامگذاری های مربوط به رئوس مخالف، فقط نه با حروف بزرگ، بلکه با حروف کوچک نشان داده می شوند. بنابراین، برای مثال، مثلثی با رئوس با برچسب A، B و C دارای ضلع های a، b، c است.

اگر مثلثی را در فضای اقلیدسی در نظر بگیریم، آن شکل هندسی است که با استفاده از سه بخش که سه نقطه را که روی یک خط مستقیم قرار ندارند به هم متصل می‌کنند.

به تصویر نشان داده شده در بالا با دقت نگاه کنید. روی آن نقاط A، B و C رئوس این مثلث هستند و پاره های آن را اضلاع مثلث می نامند. هر رأس این چند ضلعی زاویه هایی را در داخل خود تشکیل می دهد.

انواع مثلث

با توجه به اندازه زوایای مثلث ها، آنها به انواع مختلفی تقسیم می شوند: مستطیل؛
زاویه ای حاد؛
دیر فهم.

مثلث های مستطیلی شامل آنهایی هستند که یک زاویه قائمه و دو زاویه دیگر دارای زاویه تند هستند.

مثلث های حاد آنهایی هستند که تمام زوایای آن تند باشد.

و اگر مثلثی یک زاویه منفرد و دیگری دو زاویه تند داشته باشد، چنین مثلثی به عنوان منفرد طبقه بندی می شود.

هر یک از شما به خوبی می‌دانید که همه مثلث‌ها اضلاع مساوی ندارند. و با توجه به طول اضلاع آن، مثلث ها را می توان به موارد زیر تقسیم کرد:

متساوی الساقین;
متساوی الاضلاع؛
همه کاره.

تکلیف: انواع مثلث ها را رسم کنید. آنها را تعریف کنید. چه تفاوتی بین آنها می بینید؟

ویژگی های اساسی مثلث ها

اگرچه این چند ضلعی های ساده ممکن است از نظر اندازه زوایای یا اضلاع با یکدیگر متفاوت باشند، اما هر مثلث دارای ویژگی های اساسی است که مشخصه این شکل است.

در هر مثلث:

مجموع تمام زوایای آن 180 درجه است.
اگر متعلق به متساوی الاضلاع باشد، هر یک از زوایای آن 60 درجه است.
مثلث متساوی الاضلاع دارای زوایای مساوی و مساوی است.
هرچه ضلع چند ضلعی کوچکتر باشد، زاویه مقابل آن کوچکتر است و بالعکس، زاویه بزرگتر در مقابل ضلع بزرگتر است.
اگر اضلاع برابر باشند، در مقابل آنها زوایای مساوی وجود دارد و بالعکس.
اگر مثلثی را بگیریم و ضلع آن را گسترش دهیم، در نهایت به یک زاویه خارجی می رسیم. برابر است با مجموع زوایای داخلی.
در هر مثلثی، ضلع آن، صرف نظر از اینکه کدام یک را انتخاب کنید، باز هم کمتر از مجموع 2 ضلع دیگر خواهد بود، اما بیشتر از تفاوت آنها خواهد بود:

1.a< b + c, a >قبل از میلاد مسیح؛
2. ب< a + c, b >a–c;
3. ج< a + b, c >الف – ب

ورزش

جدول دو زاویه از قبل شناخته شده مثلث را نشان می دهد. با دانستن مجموع مجموع تمام زوایا، زاویه سوم مثلث را با چه مقداری بدست آورید و در جدول وارد کنید:

1. زاویه سوم چند درجه است؟
2. متعلق به چه نوع مثلثی است؟

تست های هم ارزی مثلث ها

امضا میکنم

علامت دوم

علامت III

ارتفاع، نیمساز و وسط مثلث

ارتفاع مثلث - عمودی که از راس شکل به طرف مقابل آن کشیده می شود ارتفاع مثلث نامیده می شود. تمام ارتفاعات یک مثلث در یک نقطه قطع می شوند. نقطه تلاقی هر 3 ارتفاع یک مثلث، مرکز آن است.

قطعه ای که از یک راس معین کشیده می شود و آن را در وسط طرف مقابل به هم وصل می کند، میانه است. میانه ها، و همچنین ارتفاعات یک مثلث، یک نقطه تقاطع مشترک دارند، به اصطلاح مرکز ثقل مثلث یا مرکز.

نیمساز مثلث پاره ای است که راس یک زاویه و نقطه مقابل را به هم وصل می کند و این زاویه را نیز به نصف تقسیم می کند. تمام نیمسازهای یک مثلث در یک نقطه قطع می شوند که به آن مرکز دایره محاط شده در مثلث می گویند.

قسمتی که وسط دو ضلع مثلث را به هم متصل می کند خط وسط نامیده می شود.

مرجع تاریخی

شکلی مانند مثلث در دوران باستان شناخته شده بود. این شکل و خواص آن در چهار هزار سال پیش بر روی پاپیروس های مصری ذکر شده است. کمی بعد، به لطف قضیه فیثاغورث و فرمول هرون، مطالعه خواص مثلث به سطح بالاتری رفت، اما هنوز هم این اتفاق بیش از دو هزار سال پیش رخ داد.

در قرن 15 تا 16 میلادی تحقیقات زیادی در مورد خواص مثلث آغاز شد و در نتیجه علمی مانند پلان سنجی به وجود آمد که به آن "هندسه مثلث جدید" می گفتند.

دانشمند روسی N.I. Lobachevsky سهم بزرگی در شناخت خواص مثلث ها داشت. آثار او بعدها در ریاضیات، فیزیک و سایبرنتیک کاربرد پیدا کرد.

به لطف دانش در مورد خواص مثلث ها، علمی مانند مثلثات بوجود آمد. معلوم شد که در نیازهای عملی شخص برای شخص ضروری است ، زیرا استفاده از آن هنگام ترسیم نقشه ها ، اندازه گیری مناطق و حتی هنگام طراحی مکانیسم های مختلف به سادگی ضروری است.

معروف ترین مثلثی که می شناسید چیست؟ این البته مثلث برمودا است! این نام را در دهه 50 به دلیل موقعیت جغرافیایی نقاط (رأس مثلث) دریافت کرد که طبق نظریه موجود، ناهنجاری های مرتبط با آن به وجود آمد. رئوس مثلث برمودا برمودا، فلوریدا و پورتوریکو هستند.

تکلیف: چه نظریه هایی در مورد مثلث برمودا شنیده اید؟

آیا می دانید که در نظریه لوباچفسکی، هنگام جمع کردن زوایای مثلث، مجموع آنها همیشه کمتر از 180 درجه است. در هندسه ریمان مجموع زوایای یک مثلث بزرگتر از 180 درجه و در آثار اقلیدس برابر با 180 درجه است.

مشق شب

جدول کلمات متقاطع را در یک موضوع مشخص حل کنید

سوالات جدول کلمات متقاطع:

1. عمودی که از راس مثلث به خط مستقیم واقع در ضلع مقابل کشیده می شود چه نام دارد؟
2. چگونه در یک کلمه می توان مجموع طول اضلاع یک مثلث را نام برد؟
3- مثلثی را نام ببرید که دو ضلع آن مساوی باشد؟
4- مثلثی را نام ببرید که زاویه آن برابر 90 درجه باشد؟
5. نام بزرگترین ضلع مثلث چیست؟
6. نام ضلع مثلث متساوی الساقین چیست؟
7. همیشه در هر مثلثی سه عدد از آنها وجود دارد.
8. نام مثلثی که یکی از زوایای آن از 90 درجه بیشتر باشد چیست؟
9. نام پاره ای که بالای شکل ما را به وسط طرف مقابل متصل می کند؟
10. در یک چند ضلعی ساده ABC حرف بزرگ A ... است؟
11. نام پاره ای که زاویه مثلث را به دو نیم می کند چیست؟

سوالات در مورد مثلث:

1. آن را تعریف کنید.
2. چند ارتفاع دارد؟
3. یک مثلث چند نیمساز دارد؟
4. مجموع زوایای آن چقدر است؟
5. چه انواعی از این چند ضلعی ساده را می شناسید؟
6. نقاط مثلثی که قابل توجه نامیده می شوند را نام ببرید.
7. برای اندازه گیری زاویه از چه وسیله ای می توانید استفاده کنید؟
8. اگر عقربه های ساعت 21 را نشان می دهند. عقربه های ساعت چه زاویه ای ایجاد می کنند؟
9. اگر دستور «چپ»، «دایره» به فرد داده شود، از چه زاویه ای می چرخد؟
10. چه تعاریف دیگری را می شناسید که با شکلی که دارای سه زاویه و سه ضلع است مرتبط باشد؟

دروس > ریاضی > ریاضی پایه هفتم

امروز به کشور هندسه می رویم که در آنجا با انواع مثلث ها آشنا می شویم.

اشکال هندسی را در نظر بگیرید و در میان آنها شکل "اضافی" را بیابید (شکل 1).

برنج. 1. برای مثال تصویرسازی

می بینیم که شکل های شماره 1، 2، 3، 5 چهار ضلعی هستند. هر یک از آنها نام خود را دارند (شکل 2).

برنج. 2. چهار ضلعی

این بدان معنی است که شکل "اضافی" یک مثلث است (شکل 3).

برنج. 3. برای مثال تصویرسازی

مثلث شکلی است که از سه نقطه تشکیل شده است که روی یک خط قرار ندارند و سه قسمت که این نقاط را به صورت جفت به هم متصل می کنند.

نقاط نامیده می شود رئوس مثلث، بخش - او مهمانی. اضلاع مثلث تشکیل می شود در رأس یک مثلث سه زاویه وجود دارد.

ویژگی های اصلی مثلث عبارتند از سه ضلع و سه گوشهبا توجه به اندازه زاویه، مثلث ها هستند حاد، مستطیل و منفرد.

یک مثلث را حاد-زاویه می گویند اگر هر سه زاویه آن تند باشد، یعنی کمتر از 90 درجه (شکل 4).

برنج. 4. مثلث حاد

یک مثلث مستطیل نامیده می شود که یکی از زوایای آن 90 درجه باشد (شکل 5).

برنج. 5. مثلث قائم الزاویه

اگر مثلثی منفرد نامیده می شود که یکی از زوایای آن منفرد باشد، یعنی بیش از 90 درجه باشد (شکل 6).

برنج. 6. مثلث مات

بر اساس تعداد اضلاع مساوی، مثلث ها متساوی الاضلاع، متساوی الساقین، مقیاسی هستند.

مثلث متساوی الساقین مثلثی است که دو ضلع آن برابر باشد (شکل 7).

برنج. 7. مثلث متساوی الساقین

این طرف ها نامیده می شوند جانبی، سمت سوم - اساس. در مثلث متساوی الساقین، زوایای قاعده با هم برابرند.

مثلث های متساوی الساقین وجود دارد حاد و مبهم(شکل 8) .

برنج. 8. مثلث متساوی الساقین حاد و منفرد

مثلث متساوی الاضلاع مثلثی است که هر سه ضلع آن برابر باشند (شکل 9).

برنج. 9. مثلث متساوی الاضلاع

در مثلث متساوی الاضلاع همه زوایا برابرند. مثلث های متساوی الاضلاعهمیشه حاد زاویه دار

اسکلن مثلثی است که هر سه ضلع آن دارای طول های متفاوتی هستند (شکل 10).

برنج. 10. مثلث Scalene

کار را کامل کنید. این مثلث ها را به سه گروه تقسیم کنید (شکل 11).

برنج. 11. تصویر برای کار

ابتدا بیایید با توجه به اندازه زاویه ها توزیع کنیم.

مثلث های حاد: شماره 1، شماره 3.

مثلث قائم الزاویه: شماره 2، شماره 6.

مثلث های منفرد: شماره 4، شماره 5.

مثلث های مشابه را با توجه به تعداد ضلع های مساوی به گروه ها تقسیم می کنیم.

مثلث های مقیاس: شماره 4، شماره 6.

مثلث متساوی الساقین: شماره 2، شماره 3، شماره 5.

مثلث متساوی الاضلاع: شماره 1.

به تصاویر نگاه کنید.

به این فکر کنید که هر مثلث از چه تکه ای سیم ساخته شده است (شکل 12).

برنج. 12. تصویر برای کار

شما می توانید اینگونه فکر کنید.

اولین تکه سیم به سه قسمت مساوی تقسیم می شود، بنابراین می توانید از آن یک مثلث متساوی الاضلاع بسازید. او در تصویر سوم نشان داده شده است.

قطعه دوم سیم به سه قسمت مختلف تقسیم می شود، بنابراین می توان از آن برای ایجاد مثلث اسکلن استفاده کرد. ابتدا در تصویر نشان داده شده است.

قطعه سوم سیم به سه قسمت تقسیم می شود که دو قسمت آن دارای طول یکسان هستند، یعنی می توان از آن یک مثلث متساوی الساقین ساخت. در تصویر او دوم نشان داده شده است.

امروز در کلاس با انواع مثلث آشنا شدیم.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. M.I. مورو، M.A. بانتووا و دیگران: کتاب درسی. کلاس سوم: در 2 قسمت، قسمت 1. - م.: "روشنگری"، 2012.
2. M.I. مورو، ام. بانتووا و دیگران: کتاب درسی. کلاس سوم: در 2 قسمت، قسمت 2. - م.: "روشنگری"، 2012.
3. M.I. مورو. دروس ریاضی: توصیه های روش شناختی برای معلمان. کلاس سوم. - م.: آموزش و پرورش، 2012.
4. سند تنظیمی. نظارت و ارزیابی نتایج یادگیری. - م.: "روشنگری"، 2011.
5. "مدرسه روسیه": برنامه های مدرسه ابتدایی. - م.: "روشنگری"، 2011.
6. S.I. ولکووا ریاضیات: برگه های تست. کلاس سوم. - م.: آموزش و پرورش، 2012.
7. V.N. رودنیتسکایا تست ها - م.: "امتحان"، 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

مشق شب

۱- عبارات را کامل کنید.

الف) مثلث شکلی است که از ... تشکیل شده است که روی یک خط قرار نمی گیرند و ... که این نقاط را به صورت جفت به هم متصل می کنند.

ب) نقاط نامیده می شوند … ، بخش - او … . اضلاع مثلث در رأس مثلث تشکیل می شوند ….

ج) با توجه به اندازه زاویه، مثلث ها عبارتند از ... , ... , ... .

د) بر اساس تعداد اضلاع مساوی، مثلث ها عبارتند از ... , ... , ... .

2. رسم کنید

الف) مثلث قائم الزاویه؛

ب) مثلث حاد؛

ج) مثلث منفرد؛

د) مثلث متساوی الاضلاع؛

ه) مثلث اسکلن;

ه) مثلث متساوی الساقین.

3. یک تکلیف در مورد موضوع درس برای دوستان خود ایجاد کنید.

شاید ابتدایی ترین، ساده ترین و جالب ترین شکل در هندسه مثلث باشد. در یک دوره دبیرستان، ویژگی های اولیه آن مطالعه می شود، اما گاهی اوقات دانش در مورد این موضوع ناقص است. انواع مثلث ها در ابتدا خواص آنها را مشخص می کنند. اما این دیدگاه مختلط باقی می ماند. بنابراین، اکنون اجازه دهید این موضوع را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.

انواع مثلث ها به درجه اندازه گیری زاویه ها بستگی دارد. این اشکال حاد، مستطیل و منفرد هستند. اگر همه زوایا از 90 درجه تجاوز نکنند، می توان با خیال راحت این رقم را حاد نامید. اگر حداقل یک زاویه از مثلث 90 درجه باشد، پس شما با یک زیرگونه مستطیلی روبرو هستید. بر این اساس، در سایر موارد، مورد مورد نظر زاویه‌دار نامیده می‌شود.

مشکلات زیادی برای زیرگروه های حاد زاویه دار وجود دارد. یک ویژگی متمایز مکان داخلی نقاط تقاطع نیمسازها، میانه ها و ارتفاعات است. در موارد دیگر ممکن است این شرط رعایت نشود. تعیین نوع شکل مثلث کار سختی نیست. کافی است که مثلا کسینوس هر زاویه را بدانیم. اگر مقداری کمتر از صفر باشد، در هر صورت مثلث منفرد است. در مورد یک نشانگر صفر، شکل دارای زاویه قائمه است. تمام مقادیر مثبت تضمین شده است که به شما می گویند که به یک نمای زاویه ای نگاه می کنید.

نمی توان به مثلث منظم اشاره نکرد. این ایده آل ترین نمای است که در آن تمام نقاط تقاطع میانه ها، نیمسازها و ارتفاعات بر هم منطبق هستند. مرکز دایره منقوش و محصور نیز در همین مکان قرار دارد. برای حل مشکلات، شما باید فقط یک طرف را بشناسید، زیرا ابتدا زوایای آن به شما داده می شود و دو طرف دیگر مشخص هستند. یعنی رقم فقط با یک پارامتر مشخص می شود. ویژگی اصلی آنها برابری دو ضلع و زاویه در قاعده است.

گاهی این سوال پیش می آید که آیا مثلثی با اضلاع معین وجود دارد یا خیر؟ آنچه شما واقعاً می‌پرسید این است که آیا توصیف داده شده با گونه اصلی مطابقت دارد یا خیر. به عنوان مثال، اگر مجموع دو ضلع کمتر از ضلع سوم باشد، در واقع چنین رقمی اصلا وجود ندارد. اگر کار از شما بخواهد که کسینوس زوایای مثلثی با ضلع های 3،5،9 را پیدا کنید، آنگاه می توان چیزهای بدیهی را بدون تکنیک های پیچیده ریاضی توضیح داد. فرض کنید می خواهید از نقطه A به نقطه B برسید فاصله در یک خط مستقیم 9 کیلومتر است. با این حال، به یاد آوردید که باید به نقطه C در فروشگاه بروید. فاصله A تا C 3 کیلومتر و از C تا B 5 است. بنابراین، معلوم می شود که هنگام حرکت در فروشگاه، یک کیلومتر کمتر پیاده روی خواهید کرد. اما از آنجایی که نقطه C در مسیر مستقیم AB قرار ندارد، باید مسافت بیشتری را طی کنید. اینجا یک تناقض وجود دارد. البته این یک توضیح مشروط است. ریاضیات بیش از یک راه برای اثبات اینکه همه انواع مثلث ها از هویت اصلی تبعیت می کنند می داند. بیان می کند که مجموع دو ضلع بزرگتر از طول ضلع سوم است.

هر نوع دارای خواص زیر است:

1) مجموع تمام زوایا 180 درجه است.

2) همیشه یک مرکز متعامد وجود دارد - نقطه تقاطع هر سه ارتفاع.

3) هر سه وسط کشیده شده از رئوس زوایای داخلی در یک مکان قطع می شوند.

4) دور هر مثلثی می توان دایره ای رسم کرد. همچنین می توانید دایره ای را طوری بنویسید که فقط سه نقطه تماس داشته باشد و از اضلاع بیرونی خارج نشود.

اکنون با خواص اساسی که انواع مثلث ها دارند آشنا شدید. در آینده، مهم است که بفهمید هنگام حل یک مشکل با چه چیزی سر و کار دارید.

مثلثیک چند ضلعی محدب با کمترین تعداد زوایا و ضلع است. یک مثلث از یک خط شکسته بسته تشکیل می شود که از سه پیوند و آن قسمت از صفحه که در داخل خط شکسته قرار دارد تشکیل می شود.

در متن، مثلث ها با نماد Δ و سه حرف بزرگ لاتین در رئوس - Δ مشخص شده اند ABC:

در یک مثلث ABCنکته ها آ, بو سی- این رئوس مثلث، بخش ها AB, قبل از میلاد مسیح.و C.A. - اضلاع مثلث. زوایای تشکیل شده توسط اضلاع مثلث نامیده می شود زوایای مثلث.

ضلع پایین مثلث معمولا نامیده می شود اساس. در یک مثلث ABCسمت A.C.- پایه.

انواع مثلث

مثلث ها اولاً به دلیل ماهیت زاویه ها و ثانیاً به دلیل ماهیت اضلاع با یکدیگر متفاوت هستند.

بر اساس ماهیت زاویه ها، مثلث را می گویند:

• حاد زاویه دار، اگر تمام زوایای آن تند باشد.
• مستطیل شکلاگر یک زاویه راست باشد در مثلث قائم الزاویه به اضلاعی که زاویه قائمه تشکیل می دهند گفته می شود پاها، و ضلع قرار گرفته در مقابل زاویه قائم است هیپوتنوئوس.
• دیر فهم، اگر یکی از زوایای آن منفرد باشد.

بر اساس ماهیت اضلاع، یک مثلث نامیده می شود:

• همه کاره، اگر تمام اضلاع آن طول متفاوتی داشته باشد.
• متساوی الساقین، اگر دو ضلع آن با هم برابر باشند. اضلاع مساوی نامیده می شوند طرفینو شخص ثالث - اساس. در مثلث های متساوی الساقین، زوایای قاعده با هم برابرند.
• متساوی الاضلاع، اگر هر سه ضلع آن با هم برابر باشند. در مثلث های متساوی الاضلاع هر سه زاویه با هم برابرند.

اضلاع مساوی ضلع در نقشه ها با همان تعداد خطوط مشخص شده اند.