ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ។ ទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout និងផ្នែករួមរបស់វា។ ឫសគល់នៃទ្រឹស្តីបទពហុធា ដោយគ្មានដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍សម្រាប់អត់ចេះសោះ

ទ្រឹស្តីបទ

នៅសល់ពេលបែងចែកពហុនាម $P(x)$ ដោយ binomial $(x-a)$ គឺស្មើនឹង $P(a)$ ។

Corollaries ពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout

លេខ $a$ គឺជាឫសគល់នៃពហុនាម $P(x)$ ប្រសិនបើ ហើយលុះត្រាតែ $P(x)$ ត្រូវបានបែងចែកដោយ binomial $x-a$ ដោយគ្មានសល់។

ពីទីនេះ ជាពិសេស វាធ្វើតាមថា សំណុំឫសនៃពហុនាម $P(x)$ គឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងសំណុំឫសនៃសមីការដែលត្រូវគ្នា $P(x)=0$។

ពាក្យឥតគិតថ្លៃនៃពហុនាមត្រូវបានបែងចែកដោយឫសចំនួនគត់នៃពហុនាមដែលមានមេគុណចំនួនគត់ (ប្រសិនបើមេគុណនាំមុខគឺ 1 នោះឫសសនិទានទាំងអស់គឺជាចំនួនគត់)។
អនុញ្ញាតឱ្យ $a$ ជាឫសចំនួនគត់នៃពហុនាមដែលបានកាត់បន្ថយ $P(x)$ ជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់។ បន្ទាប់មកសម្រាប់ចំនួនគត់ $k$ ចំនួន $P(k)$ ត្រូវបានបែងចែកដោយ $a-k$ ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout ធ្វើឱ្យវាអាចទៅរួច ដោយបានរកឃើញឫសមួយនៃពហុនាម ដើម្បីស្វែងរកបន្ថែមទៀតសម្រាប់ឫសនៃពហុនាមដែលមានកម្រិតទាបជាងមួយរួចហើយ៖ ប្រសិនបើ $P(a)=0$ នោះពហុធាដែលបានផ្តល់ឱ្យ $P(x)$ អាចត្រូវបានតំណាងដូចជា:

$$P(x)=(x-a) Q(x)$$

ដូច្នេះ ឫសមួយត្រូវបានរកឃើញ ហើយបន្ទាប់មកឫសនៃពហុនាម $Q(x)$ ត្រូវបានរកឃើញ ដែលកម្រិតមួយគឺតិចជាងកម្រិតនៃពហុនាមដើម។ ពេលខ្លះដោយប្រើបច្ចេកទេសនេះ - វាត្រូវបានគេហៅថាការកាត់បន្ថយកម្រិត - អ្នកអាចរកឃើញឫសទាំងអស់នៃពហុនាមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា

ឧទាហរណ៍

លំហាត់ប្រាណ។រកចំនួនដែលនៅសល់ពេលបែងចែកពហុនាម $f(x)=3 x^(2)-4 x+6$ ដោយ binomial $(x-1)$

ដំណោះស្រាយ។យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout នៅសល់ដែលត្រូវការគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃពហុធានៅចំណុច $a=1$។ បន្ទាប់មក ចូរយើងស្វែងរក $f(1)$; ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងជំនួសតម្លៃ $a=1$ ទៅក្នុងកន្សោមសម្រាប់ពហុនាម $f(x)$ ជំនួសឱ្យ $x$ ។ នឹងមាន:

$$f(1)=3 \cdot 1^(2)-4 \cdot 1+6=3-4+6=5$

ចម្លើយ។នៅសល់គឺ 5

ឧទាហរណ៍

លំហាត់ប្រាណ។ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout បង្ហាញថាពហុធា $f(x)=17 x^(3)-13 x^(2)-4$ ត្រូវបានបែងចែកដោយ binomial $x=1$ ដោយគ្មានសល់។

ដំណោះស្រាយ។ពហុនាមដែលបានបញ្ជាក់គឺអាចបែងចែកដោយ binomial ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយគ្មានសល់ ប្រសិនបើចំនួន $x=1$ គឺជាឫសគល់នៃពហុនាមដែលបានផ្តល់ឱ្យ នោះមានន័យថា សមភាពមាន: $f(1)=0$ ។ ចូររកតម្លៃនៃពហុនាមនៅចំណុច $x=1$ ។

ពីមុន គោលគំនិតនៃពហុនាមត្រូវបានកំណត់ថាជាផលបូកពិជគណិតនៃ monomials ។ ប្រសិនបើ monomial ស្រដៀងគ្នាទាំងអស់នៃពហុនាមត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ និងរៀបចំតាមលំដាប់ចុះនៃកម្រិតនៃអថេរ នោះកំណត់ត្រាលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា សញ្ញាណ Canonicalពហុនាម។

និយមន័យ។ការបង្ហាញទម្រង់

កន្លែងណា x- អថេរមួយចំនួន លេខពិត និង ត្រូវបានគេហៅថា ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រ ន ពីអថេរ x . សញ្ញាបត្រនៃពហុធា គឺជាអំណាចដ៏ធំបំផុតនៃអថេរនៅក្នុងសញ្ញា Canonical របស់វា។ ប្រសិនបើអថេរមិនបង្ហាញនៅក្នុងសញ្ញាពហុនាម ឧ។ ពហុធាគឺស្មើនឹងថេរមួយ ដឺក្រេរបស់វាត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើនឹង 0។ ករណីនៅពេលដែលពហុធាត្រូវពិចារណាដោយឡែកពីគ្នា។ ក្នុងករណីនេះវាត្រូវបានទទួលយកជាទូទៅថាសញ្ញាបត្ររបស់វាមិនត្រូវបានកំណត់។

ឧទាហរណ៍។ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទីពីរ,

ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទីប្រាំ។

និយមន័យ។ពហុនាមពីរ ស្មើប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែពួកគេមានមេគុណដូចគ្នានៅក្នុងទម្រង់ Canonical របស់ពួកគេនៅថាមពលដូចគ្នា។

និយមន័យ. លេខត្រូវបានហៅ ឫសនៃពហុធាប្រសិនបើនៅពេលកំណត់លេខនេះជំនួសវិញ។ xពហុធាយកតម្លៃ 0, i.e. នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតនឹងក្លាយជាឫសគល់នៃសមីការ

ដូច្នេះបញ្ហានៃការស្វែងរកឫសគល់នៃពហុធា និងឫសនៃសមីការសនិទានភាពគឺជាបញ្ហាមួយ និងដូចគ្នា។

សមីការសមហេតុផលនៃដឺក្រេទី 1 និងទីពីរត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយដែលគេស្គាល់។ វាក៏មានរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកឫសនៃពហុនាមនៃដឺក្រេទី 3 និងទី 4 (រូបមន្ត Cardano និង Ferrari) ប៉ុន្តែដោយសារតែភាពលំបាករបស់ពួកគេ ពួកគេមិនត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងវគ្គសិក្សានៃគណិតវិទ្យាបឋមទេ។

គំនិតទូទៅនៃការស្វែងរកឫសនៃពហុនាមនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងគឺដើម្បីកត្តាពហុធា ហើយជំនួសសមីការជាមួយនឹងសំណុំសមមូលនៃសមីការនៃដឺក្រេទាប។

នៅក្នុងប្រធានបទមុន វិធីសំខាន់នៃកត្តាពហុនាមត្រូវបានកត់សម្គាល់៖ ការទទួលយកកត្តារួមមួយ; ការដាក់ជាក្រុម; រូបមន្តគុណសង្ខេប។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វិធីសាស្ត្រដាក់ជាក្រុមមិនមែនជាក្បួនដោះស្រាយនៅក្នុងធម្មជាតិទេ ដូច្នេះវាពិបាកក្នុងការអនុវត្តវាទៅពហុនាមនៃដឺក្រេធំ។ ចូរយើងពិចារណាទ្រឹស្តីបទ និងវិធីសាស្រ្តបន្ថែមមួយចំនួនដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើកត្តាពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង។

ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការបែងចែកជាមួយនៅសល់។អនុញ្ញាតឱ្យពហុនាមត្រូវបានផ្តល់ឱ្យហើយសញ្ញាបត្រគឺខុសពី 0 ហើយសញ្ញាបត្រគឺធំជាងសញ្ញាបត្រ។ បន្ទាប់មកមានពហុនាមដែលសមភាព

ជាងនេះទៅទៀត សញ្ញាប័ត្រតិចជាងសញ្ញាបត្រត្រូវបានគេហៅថាពហុធា អាចបែងចែកបាន។, ពហុនាម ការបែងចែក,ពហុនាម ឯកជនមិនពេញលេញ, និងពហុនាម នៅសល់ .

ប្រសិនបើផ្នែកដែលនៅសល់គឺ 0 នោះយើងនិយាយអញ្ចឹង ភាគហ៊ុននៅលើ ទាំងស្រុងហើយសមភាពមានទម្រង់៖

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការបែងចែកពហុនាមដោយពហុនាមគឺស្រដៀងទៅនឹងក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់បែងចែកលេខដោយលេខដោយជួរឈរឬជ្រុង។ ចូរយើងពិពណ៌នាអំពីជំហាននៃក្បួនដោះស្រាយ។

សរសេរភាគលាភនៅលើបន្ទាត់ រួមទាំងអំណាចទាំងអស់នៃអថេរ (សរសេរដែលបាត់ដោយមេគុណ 0)។

សរសេរភាគលាភនៅក្នុង "ជ្រុង" រួមទាំងអំណាចទាំងអស់នៃអថេរ។

ដើម្បីស្វែងរកពាក្យដំបូង (monomial) នៅក្នុង quotient មិនពេញលេញ អ្នកត្រូវបែងចែក monomial នាំមុខនៃភាគលាភដោយ monomial នាំមុខនៃ divisor ។

គុណលទ្ធផលលទ្ធផលនៃពាក្យទីមួយដោយអ្នកចែកទាំងមូល ហើយសរសេរលទ្ធផលនៅក្រោមភាគលាភ ហើយសរសេរអំណាចដូចគ្នានៃអថេរនៅក្រោមគ្នាទៅវិញទៅមក។

ដកផលិតផលលទ្ធផលចេញពីភាគលាភ។

អនុវត្តក្បួនដោះស្រាយទៅលទ្ធផលដែលនៅសល់ដោយចាប់ផ្តើមពីចំណុចទី 1)។

ក្បួនដោះស្រាយត្រូវបានបញ្ចប់នៅពេលដែលភាពខុសគ្នាលទ្ធផលមានកម្រិតតិចជាងកម្រិតនៃការបែងចែក។ នេះគឺជានៅសល់។

ឧទាហរណ៍. ចែកពហុនាមដោយ .

សរសេរភាគលាភនិងផ្នែក

ធ្វើបែបបទម្តងទៀត

ដឺក្រេគឺតិចជាងកម្រិតនៃការបែងចែក។ ដូច្នេះនេះគឺជានៅសល់។ លទ្ធផលនៃការបែងចែកនឹងត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

គ្រោងការណ៍របស់ Horner ។ប្រសិនបើការបែងចែកជាពហុធានៃសញ្ញាបត្រទីមួយ នោះនីតិវិធីនៃការបែងចែកអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ។ ពិចារណាអំពីក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការបែងចែកពហុធាដោយទ្វេនាម។

ឧទាហរណ៍. បែងចែកពហុនាមតាមគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។ ក្នុងករណីនេះ ក=2. ចូរយើងសរសេរលទ្ធផលនៃការអនុវត្ត algorithm មួយជំហានម្តងៗ។

ជំហានទីមួយ។

ជំហានទីពីរ

ជំហានទីបី

ជំហានទីបួន

ដូច្នេះយើងសរសេរលទ្ធផលនៃការបែងចែកដូចខាងក្រោម

មតិយោបល់។ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបែងចែកដោយ binomial

បន្ទាប់មកវាត្រូវបានបម្លែងទៅជាទម្រង់។ ពីនេះវាច្បាស់ណាស់ថាការបែងចែកតាមគ្រោងការណ៍របស់ Horner ដោយយើងនឹងរកឃើញ។ បន្ទាប់មក កូតាដែលចង់បាននឹងត្រូវបានទទួលដោយការបែងចែកអ្វីដែលបានរកឃើញដោយ ក. នៅសល់នៅតែដដែល។

ទ្រឹស្តីបទ Bezout. នៅសល់នៅពេលបែងចែកពហុនាមដោយស្មើនឹងតម្លៃនៃពហុធានៅចំណុច x = ក, i.e. . ពហុធាគឺអាចចែកបានដោយមិនមានសល់ប្រសិនបើនិងបានតែប្រសិនបើ x = កគឺជាឫសគល់នៃពហុធា។

ដូច្នេះដោយបានរកឃើញឫសមួយនៃពហុធា ក អ្នកអាចធ្វើកត្តាដោយជ្រើសរើសកត្តាដែលមានដឺក្រេមួយតិចជាងដឺក្រេ។ កត្តានេះអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner ឬដោយការបែងចែកជាមួយជ្រុងមួយ។

សំណួរនៃការស្វែងរកឫសត្រូវបានដោះស្រាយដោយការជ្រើសរើស ឬដោយប្រើទ្រឹស្តីបទលើឫសសនិទាននៃពហុធា។

ទ្រឹស្តីបទ។អនុញ្ញាតឱ្យពហុនាម មានមេគុណចំនួនគត់។ ប្រសិនបើប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបានគឺជាឫសនៃពហុធា នោះភាគយករបស់វា។ ទំគឺជាផ្នែកបែងចែកនៃពាក្យសេរី និងភាគបែង qគឺជាផ្នែកបែងចែកនៃមេគុណនាំមុខ។

ទ្រឹស្តីបទនេះបង្កប់ន័យ ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកឫសសនិទានពហុនាម (ប្រសិនបើមាន) ។

ការបំបែកប្រភាគពិជគណិតទៅជាផលបូកនៃប្រភាគសាមញ្ញ

និយមន័យប្រភាគដែលភាគបែង និងភាគបែងមានពហុនាមត្រូវបានគេហៅថា ប្រភាគពិជគណិត .

សូមពិចារណាប្រភាគពិជគណិតនៃអថេរមួយ។ ពួកគេនៅក្នុង ទិដ្ឋភាពទូទៅអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: ដែលជាកន្លែងដែលភាគយកមានពហុធានដឺក្រេ ន, ភាគបែងគឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេ k. ប្រសិនបើ នោះប្រភាគត្រូវបានគេហៅថា ត្រឹមត្រូវ។ .

TO ប្រភាគពិជគណិតសាមញ្ញមានប្រភាគត្រឹមត្រូវពីរប្រភេទ៖

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រភាគពិជគណិតណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃប្រភាគពិជគណិតសាមញ្ញបំផុត។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់បំបែកប្រភាគពិជគណិតទៅជាផលបូកនៃប្រភាគសាមញ្ញ។

កត្តាភាគបែង។

កំណត់ចំនួនប្រភាគត្រឹមត្រូវ និងប្រភេទនៃភាគបែងរបស់វា។

សរសេរសមភាព នៅផ្នែកខាងឆ្វេងដែលជាប្រភាគដើម នៅផ្នែកខាងស្តាំគឺជាផលបូកនៃប្រភាគសាមញ្ញបំផុតជាមួយនឹងមេគុណដែលមិនអាចកំណត់បាន។

កាត់បន្ថយប្រភាគនៅផ្នែកខាងស្តាំទៅជាភាគបែងរួម។

សមីការពហុនាមនៅក្នុងភាគយកនៃប្រភាគ។ ដោយប្រើនិយមន័យនៃសមភាពនៃពហុនាម បង្កើតប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ហើយដោះស្រាយវាដោយស្វែងរកមេគុណដែលមិនអាចកំណត់បាន។

ថ្នាក់៖ 11

បទបង្ហាញសម្រាប់មេរៀន

ថយក្រោយ

យកចិត្តទុកដាក់! ការមើលជាមុនស្លាយគឺសម្រាប់គោលបំណងផ្តល់ព័ត៌មានតែប៉ុណ្ណោះ ហើយប្រហែលជាមិនតំណាងឱ្យលក្ខណៈពិសេសទាំងអស់នៃបទបង្ហាញនោះទេ។ ប្រសិនបើអ្នកចាប់អារម្មណ៍លើការងារនេះ សូមទាញយកកំណែពេញលេញ។

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

លើកកម្ពស់ការអភិវឌ្ឍជំនាញក្នុងការបែងចែកពហុនាមដោយពហុធា និងការប្រើប្រាស់គ្រោងការណ៍របស់ Horner;
ពង្រឹងជំនាញរបស់អ្នកនៅក្នុងសៀវភៅបញ្ជី OpenOffice.org Calc;
រៀបចំសកម្មភាពរបស់សិស្សដើម្បីយល់ យល់ និងទន្ទេញចាំចំណេះដឹងថ្មីៗដំបូង។
វិភាគ និងបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាស្ថានភាព៖ តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការចាត់ថ្នាក់ពហុធាដឺក្រេទីបី។
ពិចារណាប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout ដើម្បីដោះស្រាយសមីការសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង។
លើកកម្ពស់ការអភិវឌ្ឍនៃការគិតឡូជីខល ការយកចិត្តទុកដាក់ ការនិយាយ និងសមត្ថភាពក្នុងការធ្វើការដោយឯករាជ្យ។

ប្រភេទមេរៀន៖មេរៀនណែនាំសម្ភារៈថ្មី។

ឧបករណ៍៖ម៉ាស៊ីនបញ្ចាំងពហុព័ត៌មាន ការបង្ហាញមេរៀន ថ្នាក់កុំព្យូទ័រ។

"ដើម្បីកែលម្អចិត្ត អ្នកត្រូវវែកញែកជាជាងការទន្ទេញចាំ"។
Descartes (1596 -1650) ។ គណិតវិទូបារាំង រូបវិទ្យា ទស្សនវិទូ ទស្សនវិទូ។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

ខ្ញុំ. ពេលវេលារៀបចំ

ភារកិច្ចរបស់យើងថ្ងៃនេះ សកម្មភាពរួមគ្នាបញ្ជាក់ពាក្យរបស់ Descartes (ស្លាយទី 1) ។ ប្រធានបទនៃមេរៀនរបស់យើង (ស្លាយទី 2) "ទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout" គឺសំខាន់ណាស់ដែលវាត្រូវបានគេប្រើសូម្បីតែនៅក្នុងកិច្ចការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម និងអូឡាំពិកផ្សេងៗ។ ទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout ជួយសម្រួលដល់ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាច្រើនដែលមានសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាង។ ជាអកុសលវាត្រូវបានសិក្សាតែនៅកម្រិតទម្រង់។

II. ការកើតឡើងនៃស្ថានភាពបញ្ហា

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាង ហើយយើងនឹងទាញយកក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។

ដោះស្រាយសមីការ៖ x 3 − 2x 2 − 6x + 4 = 0(ស្លាយទី 3) ។ បញ្ហាកើតឡើង៖ យើងយល់ថា វានឹងមានភាពងាយស្រួលក្នុងការតំណាងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការជាផលិតផលមួយ ហើយដោយសារផលិតផលស្មើនឹងសូន្យ បន្ទាប់មកយកកត្តានីមួយៗទៅសូន្យ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកត្រូវកត្តាពហុធាដឺក្រេទីបី។ ប៉ុន្តែធ្វើយ៉ាងម៉េច?តើអាចដាក់ជាក្រុម ឬតង្កៀបកត្តារួមនៅក្នុងករណីរបស់យើងបានទេ? (ទេ)។

III. ការធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹងយោង

ចូរយើងចាំពីរបៀបដែលកត្តាពហុធា x 2 − 5x − 6 ? (ស្លាយទី 4) ។

(យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់បង្កើតត្រីកោណមាត្រចតុកោណ៖

ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x-x 2) ដែល x 1 និង x 2 ជាឫសគល់នៃ trinomial)។

ស្វែងរកឫសគល់នៃព្រះត្រីឯកតាមពីរវិធី។ ណាមួយ?

(ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ និងទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា)។

សិស្សម្នាក់មកពីក្រុមនីមួយៗដោះស្រាយនៅលើក្ដារខៀន។ សិស្សដែលនៅសល់គឺនៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រារបស់ពួកគេ។ យើងទទួលបាន៖ x 2 − 5x − 6 = (x − 6) (x + 1) ។

នេះមានន័យថា trinomial ត្រូវបានបែងចែកដោយ binomials នីមួយៗ៖ x − 6 និង x + 1 ។

យកចិត្តទុកដាក់លើរយៈពេលឥតគិតថ្លៃនៃត្រីភាគីរបស់យើង ហើយស្វែងរកផ្នែកបែងចែករបស់វា (±1, ±2, ±3, ±6)។

តើផ្នែកណាខ្លះជាឫសគល់នៃព្រះត្រៃបិដក? (-១ និង ៦)

តើការសន្និដ្ឋានអ្វីអាចទាញបាន? (ឬសគល់នៃព្រះត្រៃបិដក គឺជាការបែងចែកនៃពាក្យសេរី)។

IV. ស្នើសម្មតិកម្ម

ដូច្នេះតើ monomial មួយណានឹងជួយអ្នករកឃើញឫសនៃពហុធា?

P(x) = x 3 − 2x 2 − 6x + 4 = 0?

(សមាជិកឥតគិតថ្លៃ)។

សរសេរការបែងចែករបស់វា៖ ± 1; ±2; ±4.

ស្វែងរកតម្លៃពហុធាសម្រាប់ចែកនីមួយៗ។ ការប្រើប្រាស់សៀវភៅបញ្ជី និងដោយផ្ទាល់៖

ក្រុមទី 1 គណនាក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា ទីពីរនៅកុំព្យូទ័រក្នុង OpenOffice.org Calc ។

P(1)= -3
Р(-1)=7
Р(2)=-8
Р(-2)=0
Р(4)=12
Р(-4)=-68

(នៅពេលគណនាក្នុងសៀវភៅបញ្ជី ក្នុងក្រឡា B2 សិស្សបញ្ចូលរូបមន្ត៖ =A1^3-2*A1^2-6*A1+4 ។ ដោយប្រើសញ្ញាសម្គាល់ការបំពេញស្វ័យប្រវត្តិ ពួកគេទទួលបានតម្លៃនៃពហុនាមក្នុងជួរទាំងមូល )

តើផ្នែកមួយណាជាឫសគល់នៃពហុធា? (-2)

ដូច្នេះកត្តាមួយក្នុងការពង្រីកគឺ x-(-2) = x + 2 ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកមេគុណផ្សេងទៀត?

(ចែក "នៅក្នុងជួរឈរមួយ" ដោយ binomial x + 2)

តើវាអាចទៅរួចយ៉ាងដូចម្តេចទៀត? (យោងទៅតាមគ្រោងការណ៍របស់ Horner) ។ (ស្លាយទី 5)

តើអ្វីជាគ្រោងការណ៍របស់ Horner? ( គ្រោងការណ៍របស់ Horner គឺជាក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការបែងចែកពហុនាម ដែលសរសេរសម្រាប់ករណីពិសេស នៅពេលដែលផ្នែកចែកស្មើនឹង binomial x-a).

យើងអនុវត្តការបែងចែក៖ ក្រុមទីមួយគឺ "នៅក្នុងជួរឈរ" ទីពីរ - យោងតាមគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។

បែងចែកដោយគ្មានដាន។

ចូរត្រឡប់ទៅសមីការវិញ៖ x 3 - 2x 2 - 6x + 4 = (x 2 -4x + 2)(x+ 2)=0

x 2 -2x+2=0 - សមីការការ៉េ។ ដោះស្រាយវា:

ឃ 1 = 4 – 2 = 2;

ចម្លើយ៖ -២, ។

តើអាចសល់ពេលបែងចែកបានទេ?យើងនឹងឆ្លើយសំណួរនេះនៅពេលក្រោយ។ ឥឡូវដាក់ឈ្មោះតម្លៃនៃពហុនាមនៅ x = − 2. (តម្លៃគឺសូន្យ)។

សូមចំណាំថា x = − 2 គឺជាឫសនៃពហុធា ហើយនៅសល់នៅពេលបែងចែកពហុនាមដោយ x-(-2) គឺ 0 ។

Considerx=1 - មិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការទេ។

ចូរយើងព្យាយាមបែងចែកពហុនាមដោយ x-1. ក្រុមទីពីរអនុវត្តការបែងចែកវែង។ ទីមួយ យោងតាមគ្រោងការណ៍របស់ Horner បំពេញតារាងជាមួយនឹងបន្ទាត់មួយទៀត។

ដូច្នេះ x 3 − 2x 2 − 6x + 4 = (x − 1)∙(x 2 − x − 7) – 3 ។

ចំណាំថា x=1 មិនមែនជាឫសគល់នៃពហុនាមទេ ហើយនៅសល់នៅពេលបែងចែកពហុនាមដោយ (x-1) គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃពហុនាមនៅ x=1។

នេះគឺជាចម្លើយចំពោះសំណួរអំពីអ្វីដែលនៅសល់។ បាទ/ចាស នៅសល់ត្រូវបានទទួលសម្រាប់តម្លៃ x ដែលមិនមែនជាឫសគល់នៃពហុធា។

ចូរបន្តគ្រោងការណ៍របស់ Horner សម្រាប់ការបែងចែកដែលនៅសល់នៃពាក្យទំនេរ។ ឥឡូវសូមឲ្យក្រុមទីមួយធ្វើការគណនានៅកុំព្យូទ័រ ហើយក្រុមទីពីរក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា។

វ. ភស្តុតាងនៃសម្មតិកម្ម

(ស្លាយទី 6) អ្នកបានកត់សម្គាល់គំរូមួយអំពីអ្វីដែលនៅសល់។ មួយណា? (នៅសល់គឺទទួលបានសម្រាប់តម្លៃ x ដែលមិនមែនជាឫសគល់នៃពហុធា)។

ចូរយើងសរសេរគំរូនេះជាទម្រង់ទូទៅ។

ទុក P(x) ជាពហុនាម និងជាលេខ។

ចូរយើងបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍៖ នៅសល់នៅពេលដែល P(x) ត្រូវបានបែងចែកដោយ (x - a) ស្មើនឹង P(a) ។

ភស្តុតាង។ចែក P(x) នៅសល់ដោយ (x - a) ។

យើងទទួលបាន P(x) = (x - a) Q(x) + R; តាមនិយមន័យនៃនៅសល់ ពហុនាម r គឺស្មើនឹង 0 ឬមានដឺក្រេតិចជាងដឺក្រេ (x - a) i.e. តិចជាង 1. ប៉ុន្តែកម្រិតនៃពហុនាមគឺតិចជាង 1 លុះត្រាតែវាស្មើនឹង 0 ដូច្នេះហើយក្នុងករណីទាំងពីរ R គឺពិតជាចំនួន - សូន្យ ឬមិនមែនសូន្យ។

ឥឡូវជំនួសតម្លៃ x = a ទៅក្នុងសមភាព P(x)= (x - a)Q(x) + R យើងទទួលបាន P(a)= (a - a)Q(x) + R, P(a) = R ដូច្នេះពិត R = P(a) ។

គំរូនេះត្រូវបានកត់សម្គាល់ដោយគណិតវិទូ Bezout ផងដែរ។

សាររបស់សិស្ស

(ស្លាយទី 7) Etienne Bezu - គណិតវិទូជនជាតិបារាំង សមាជិកនៃបណ្ឌិតសភាវិទ្យាសាស្ត្រប៉ារីស (តាំងពីឆ្នាំ 1758) កើតនៅ Nemours នៅថ្ងៃទី 31 ខែមីនា ឆ្នាំ 1730 ហើយបានទទួលមរណភាពនៅថ្ងៃទី 27 ខែកញ្ញា ឆ្នាំ 1783 ។ ចាប់តាំងពីឆ្នាំ 1763 Bezu បានបង្រៀនគណិតវិទ្យានៅសាលា midshipmen ហើយចាប់តាំងពីឆ្នាំ 1768 នៅ Royal Artillery Corps ។

ស្នាដៃសំខាន់ៗរបស់ Etienne Bezout ទាក់ទងនឹងពិជគណិតខ្ពស់ ពួកគេត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការបង្កើតទ្រឹស្តីសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការពិជគណិត។

នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ គាត់បានរួមចំណែកដល់ការលេចចេញនូវទ្រឹស្តីនៃកត្តាកំណត់ បង្កើតទ្រឹស្ដីនៃការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ពីប្រព័ន្ធនៃសមីការដឺក្រេខ្ពស់ និងបានបង្ហាញពីទ្រឹស្តីបទ (បង្កើតដំបូងដោយម៉ាក្លូរិន) ដែលខ្សែកោងពីរនៃលំដាប់។ m និង n ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច mn ភាគច្រើន។

នៅប្រទេសបារាំង និងក្រៅប្រទេស រហូតដល់ឆ្នាំ 1848 សៀវភៅ "វគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យា" ប្រាំមួយភាគរបស់គាត់ ដែលសរសេរដោយគាត់នៅឆ្នាំ 1764-69 គឺមានប្រជាប្រិយភាពខ្លាំងណាស់។

Bezout បានបង្កើតវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់។ នៅក្នុងពិជគណិតបឋម វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការដោយផ្អែកលើវិធីសាស្ត្រនេះត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមគាត់។

ផ្នែកមួយនៃស្នាដៃរបស់ Bezout ត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការបាញ់ផ្លោងខាងក្រៅ។

ទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋានមួយនៃពិជគណិតត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ។

ផលវិបាក

តើអ្វីត្រូវជាអ្វីដែលនៅសេសសល់សម្រាប់ពហុធា P(x) ដើម្បីអាចចែកបានដោយ binomial (x – a)? (ស្មើនឹង ០)។

យើងទទួលបានកូរ៉ូឡារីពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout៖ ដើម្បីឱ្យពហុនាម P(x) អាចត្រូវបានបែងចែកដោយ binomial (x – a) វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលសមភាព P(a) = 0 ត្រូវបានពេញចិត្ត។

VI. Assimilation នៃអ្វីដែលបានរៀន

(ស្លាយទី ៨) ដោះស្រាយសមីការ៖ x 4 − x 3 − 6x 2 − x + 3 = 0.

ឫសចំនួនគត់នៃពហុនាម P(x) = x 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 ត្រូវតែជាផ្នែកនៃពាក្យទំនេរ ដូច្នេះទាំងនេះអាចជាលេខ -1, 1, 3, -3 ។

ចូរយើងជ្រើសរើសឫសមួយតាមគ្រោងការណ៍របស់ Horner៖

VII. លទ្ធផល៖

ដូច្នេះតើទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout ផ្តល់ឱ្យយើងនូវអ្វីខ្លះ? (ស្លាយទី ៩)

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout ធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបាន ដោយបានរកឃើញឫសមួយនៃពហុនាម ដើម្បីស្វែងរកបន្ថែមទៀតសម្រាប់ឫសនៃពហុនាមដែលមានកម្រិត 1 តិចជាង: ប្រសិនបើ P(a) = 0 បន្ទាប់មក P(x) = (x - a)Q( x) ហើយអ្វីដែលនៅសេសសល់គឺដើម្បីដោះស្រាយសមីការ Q (x) = 0 ។ ពេលខ្លះដោយប្រើបច្ចេកទេសនេះ - វាត្រូវបានគេហៅថាកាត់បន្ថយដឺក្រេ - អ្នកអាចរកឃើញឫសទាំងអស់នៃពហុធា។

Etienne Bezout–

គណិតវិទូជនជាតិបារាំង សមាជិកនៃបណ្ឌិតសភាវិទ្យាសាស្ត្រប៉ារីស (តាំងពីឆ្នាំ 1758) កើតនៅ Nemours នៅថ្ងៃទី 31 ខែមីនា ឆ្នាំ 1730 ហើយបានទទួលមរណភាពនៅថ្ងៃទី 27 ខែកញ្ញា ឆ្នាំ 1783។

ចាប់តាំងពីឆ្នាំ 1763 Bezu បានបង្រៀនគណិតវិទ្យានៅសាលា midshipmen ហើយចាប់តាំងពីឆ្នាំ 1768 នៅ Royal Artillery Corps ។

ស្នាដៃសំខាន់ៗរបស់ Etienne Bezout ទាក់ទងនឹងពិជគណិតខ្ពស់ ពួកគេត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការបង្កើតទ្រឹស្តីសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការពិជគណិត។ នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ គាត់បានរួមចំណែកដល់ការលេចចេញនូវទ្រឹស្តីនៃកត្តាកំណត់ បង្កើតទ្រឹស្ដីនៃការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ពីប្រព័ន្ធនៃសមីការដឺក្រេខ្ពស់ និងបានបង្ហាញពីទ្រឹស្តីបទ (បង្កើតដំបូងដោយ K. Maclaurin) ថា ខ្សែកោងពីរ នៃលំដាប់ m និង n ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច mn ភាគច្រើន។ នៅប្រទេសបារាំង និងក្រៅប្រទេស រហូតដល់ឆ្នាំ 1848 សៀវភៅ "វគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យា" ប្រាំមួយភាគរបស់គាត់ ដែលសរសេរដោយគាត់នៅឆ្នាំ 1764-69 គឺមានប្រជាប្រិយភាពខ្លាំងណាស់។ Bezou បានបង្កើតវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់; នៅក្នុងពិជគណិតបឋម វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការដោយផ្អែកលើវិធីសាស្ត្រនេះត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមគាត់។ ផ្នែកមួយនៃស្នាដៃរបស់ Bezout ត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការបាញ់ផ្លោងខាងក្រៅ។ ទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋានមួយនៃពិជគណិតត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ។

ទ្រឹស្តីបទ Bezout ។

នៅសល់នៃការបែងចែកពហុនាម ទំ ន ( x )

ដោយ binomial ( x - ក ) ស្មើនឹងតម្លៃ

ពហុនាមនេះនៅ x = ក .

ទំន(x) - បានផ្តល់ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រ ន ,

លេខទ្វេ (x- ក) - ការបែងចែករបស់វា

សំណួរន-1 (x) - បរិមាណនៃការបែងចែក ទំន(x) នៅលើ x- ក(ពហុកោណនៃសញ្ញាបត្រ n-1),

រ- នៅសល់នៃផ្នែក ( រមិនមានអថេរ xជាផ្នែកចែកសញ្ញាបត្រទីមួយទាក់ទងនឹង x).

ភស្តុតាង៖

យោងទៅតាមច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកពហុនាមជាមួយនៅសល់ យើងអាចសរសេរបាន៖

ទំន(x) = (x-a)Qn-1(x)+R .

ហេតុដូច្នេះហើយនៅ x = ក :

ទំន(a) = (a-a) Qn-1(a) + R = 0 * Qn-1(a)+R=

=0+ រ= រ .

មានន័យថា រ = ទំន(ក) , i.e. នៅសល់នៅពេលបែងចែកពហុនាមដោយ (x- ក) ស្មើនឹងតម្លៃនៃរឿងនេះ

ពហុនាមនៅ x= កដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។

Corollaries ពីទ្រឹស្តីបទ .

ជាមួយ លទ្ធផល ១ :

នៅសល់នៃការបែងចែកពហុនាម ទំ ន ( x )

ដោយ binomial ពូថៅ + ខ ស្មើនឹងតម្លៃ

ពហុនាមនេះនៅ x = - ខ / ក ,

ធ . អ៊ី . R=P ន (-b/a) ។

ភស្តុតាង៖

យោងតាមច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកពហុនាម៖

ទំន(x) = (អ័ក្ស + ខ)* សំណួរn-1(x)+R.

Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. មានន័យថា R = Pn (-b/a) ដែលជាអ្វីដែលត្រូវការ ត្រូវតែបញ្ជាក់។

កូរ៉ូឡារី ២ :

ប្រសិនបើលេខ ក គឺជាឫស

ពហុនាម ទំ ( x ), នោះ។ នេះ

ពហុធាគឺអាចបែងចែកដោយ ( x - ក ) ដោយគ្មាន

នៅសល់។

ភស្តុតាង៖

យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout នៅសល់នៃពហុនាមគឺ ទំ (x) នៅលើ x- កស្មើ ទំ (ក) និងតាមលក្ខខណ្ឌ កគឺជាឫស ទំ (x) ដែលមានន័យថា ទំ (ក) = 0 ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់ .

ពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout នេះ វាច្បាស់ណាស់ថាបញ្ហានៃការដោះស្រាយសមីការ ទំ (x) = 0 គឺស្មើនឹងបញ្ហានៃការកំណត់អត្តសញ្ញាណការបែងចែកនៃពហុធា ទំមានសញ្ញាប័ត្រទីមួយ (ការបែងចែកលីនេអ៊ែរ) ។

កូរ៉ូឡារី ៣ :

ប្រសិនបើពហុនាម ទំ ( x ) វាមាន

ឫសខុសគ្នាជាគូ

ក 1 , ក 2 , … , ក ន បន្ទាប់មកវាត្រូវបានបែងចែកដោយ

ការងារ ( x - ក 1 ) … ( x - ក ន )

ដោយគ្មានដាន .

ភស្តុតាង៖

ចូរយើងអនុវត្តភស្តុតាងដោយប្រើការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាលើចំនួនឫស។ នៅ ន=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងកូរ៉ូឡារី ២។ ឧបមាថាវាត្រូវបានបញ្ជាក់រួចហើយសម្រាប់ករណីនៅពេលដែលចំនួនឫសស្មើគ្នា k, វាមានន័យថា P(x)បែងចែកដោយគ្មាននៅសល់ (x- ក1 )(x- ក2 ) … (x- កk) , កន្លែងណា

ក1 , ក2 , … , កk- ឫសរបស់វា។

អនុញ្ញាតឱ្យ ទំ(x) វាមាន k+1 ឫសខុសគ្នាជាគូដោយសម្មតិកម្មការបញ្ចូល ក1 , ក2 , កk , … , កk+1 គឺជាឫសគល់នៃពហុធា ដែលមានន័យថា ពហុនាមត្រូវបានបែងចែកដោយផលិតផល (x- ក1 ) … (x- កk) តើវាមកពីណា

P(x) = (x-a1 ) … (x-ak)Q(x)។

ឯណា កk+1 - ឫសនៃពហុនាម ទំ(x) , i.e. . ទំ(កk+1 ) = 0 .

ដូច្នេះជំនួសវិញ។ xកk+1 យើងទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវ៖

P(ak+1) = (កk+1-ក1 ) ... (កk+1-កk) Q(កk+1) =

ប៉ុន្តែ កk+1 ខុសពីលេខ ក1 , … , កkដូច្នេះហើយគ្មានលេខណាមួយទេ។ កk+1 - ក1 , … , កk+1 - កkមិនស្មើនឹង 0 ។ ដូច្នេះសូន្យគឺស្មើគ្នា សំណួរ(កk+1 ) , i.e. កk+1 - ឫសនៃពហុនាម សំណួរ(x) . ហើយពីកូរ៉ូឡារីទី 2 វាប្រែថា សំណួរ(x) ចែកដោយ x- កk+ 1 ដោយគ្មានដាន។

សំណួរ(x) = (x- កk+1 ) សំណួរ1 (x) ហើយនោះហើយជាមូលហេតុ

P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) =

=(x- ក1 ) … (x- កk)(x- កk+1 ) សំណួរ1 (x) .

នេះមានន័យថា ទំ(x) ចែកដោយ (x- ក1 ) … (x- កk+1 ) ដោយគ្មានដាន។

ដូច្នេះ វាត្រូវបានបញ្ជាក់ថាទ្រឹស្តីបទគឺពិតសម្រាប់ k =1 និងពីសុពលភាពរបស់វានៅ ន = kវាដូចខាងក្រោមថាវាក៏ជាការពិតនៅពេលដែល ន = k+1 . ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទគឺពិតសម្រាប់ចំនួនឫសណាមួយ អ្វី និងចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់ .

កូរ៉ូឡារី ៤ :

ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រ ន មិនមានទៀតទេ

ន ឫសផ្សេងគ្នា។

ភស្តុតាង៖

ចូរយើងប្រើវិធីសាស្រ្តដោយភាពផ្ទុយគ្នា: ប្រសិនបើពហុធា ទំន(x) ដឺក្រេ ននឹងមានច្រើនទៀត នឫស - ន+ k (ក1 , ក2 , … , កន+ k- ឫសរបស់វា) បន្ទាប់មកយោងទៅតាមកូរ៉ូឡារីទី 3 ដែលបានបញ្ជាក់ពីមុន

នឹងត្រូវបានបែងចែកដោយផលិតផល (x- ក1 ) … (x- កន+ k) , មានសញ្ញាបត្រ ន+ kដែលមិនអាចទៅរួច។

យើងបានឈានដល់ភាពផ្ទុយគ្នា ដែលមានន័យថាការសន្មត់របស់យើងមិនត្រឹមត្រូវ ហើយពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រ n មិនអាចមានលើសពី នឫស, Q.E.D.

កូរ៉ូឡារី ៥ :

សម្រាប់ពហុនាមណាមួយ។ ទំ ( x )

និងលេខ ក ភាពខុសគ្នា

( ទំ ( x )- ទំ ( ក )) ត្រូវបានបែងចែកដោយគ្មាន

នៅសល់ដោយ binomial ( x - ក ) .

ភស្តុតាង៖

អនុញ្ញាតឱ្យ ទំ(x) - បានផ្តល់ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រ ន , ក- លេខណាមួយ។

ពហុនាម ទំន(x) អាចត្រូវបានតំណាងដូចជា: ទំន(x)=(x- ក) សំណួរន-1 (x)+ រ ,

កន្លែងណា សំណួរន-1 (x) - ពហុធា, គុណនាមនៅពេលបែងចែក ទំន(x) នៅលើ (x- ក) ,

រ- ផ្នែកដែលនៅសល់ ទំន(x) នៅលើ (x- ក) .

លើសពីនេះទៅទៀតយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout៖

R = ភីន(ក), i.e.

ទំន(x)=(x-a)Qn-1(x) + ភីន(ក) .

Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,

ហើយនេះមានន័យថាការបែងចែកដោយគ្មាននៅសល់ (ទំន(x) – ទំន(ក))

នៅលើ (x- ក) ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់ .

កូរ៉ូឡារី ៦ :

ចំនួន ក គឺជាឫស

ពហុនាម ទំ ( x ) ដឺក្រេ

មិនទាបជាងដំបូងបន្ទាប់មក

តែនៅពេលដែល

ទំ ( x ) ចែកដោយ ( x - ក )

ដោយគ្មានដាន .

ភស្តុតាង៖

ដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទនេះ ចាំបាច់ត្រូវពិចារណាពីភាពចាំបាច់ និងភាពគ្រប់គ្រាន់នៃលក្ខខណ្ឌដែលបានបង្កើត។

1. ភាពចាំបាច់ .

អនុញ្ញាតឱ្យ ក- ឫសនៃពហុនាម ទំ(x) បន្ទាប់មកដោយ កូរ៉ូឡារី ២ ទំ(x) ចែកដោយ (x- ក) ដោយគ្មានដាន។

ដូច្នេះការបែងចែក ទំ(x) នៅលើ (x- ក) គឺ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ដើម្បី កជា root ទំ(x) , ដោយសារតែ គឺជាលទ្ធផលនៃការនេះ។

2. ភាពគ្រប់គ្រាន់ .

អនុញ្ញាតឱ្យពហុនាម ទំ(x) បែងចែកដោយគ្មាននៅសល់ (x- ក) ,

បន្ទាប់មក រ = 0 , កន្លែងណា រ- ផ្នែកដែលនៅសល់ ទំ(x) នៅលើ (x- ក) ប៉ុន្តែយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout រ = ទំ(ក) តើវាមកពីណា ទំ(ក) = 0 ដែលមានន័យថា កគឺជាឫស ទំ(x) .

ដូច្នេះការបែងចែក ទំ(x) នៅលើ (x- ក) ក៏ជាលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ កជា root ទំ(x) .

ការបែងចែក ទំ(x) នៅលើ (x- ក) គឺ ចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ កជា root ទំ(x) , Q.E.D.

ពហុនាមដែលមិនមានពិត

ឫសរឹង, នៅក្នុងការរលួយ

ទៅកត្តានៃកត្តាលីនេអ៊ែរ

មិនមាន។

ភស្តុតាង៖

ចូរប្រើវិធីសាស្រ្តដោយភាពផ្ទុយគ្នា៖ ឧបមាថាពហុនាមដោយគ្មានឫស ទំ(x) នៅពេលដែលកត្តាមានកត្តាលីនេអ៊ែរ (x – ក) :

P(x) = (x – a) Q(x),

បន្ទាប់មកវានឹងត្រូវបានបែងចែកដោយ (x – ក) ប៉ុន្តែដោយកូរ៉ូឡារី ៦ កនឹងជា root ទំ(x) ប៉ុន្តែតាមលក្ខខណ្ឌ វាមិនមានឫសទេ។ យើងបានឈានដល់ភាពផ្ទុយគ្នា ដែលមានន័យថាការសន្មត់របស់យើងមិនត្រឹមត្រូវ និងពហុនាម

1. ការបែងចែក 5x 4 + 5 x 3 + x 2 − 11 នៅលើ x − 1ដោយប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។

ដំណោះស្រាយ៖

ចូរបង្កើតតារាងពីរជួរ៖ ក្នុងជួរទីមួយ យើងសរសេរមេគុណនៃពហុធា 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 រៀបចំតាមលំដាប់ចុះនៃដឺក្រេនៃអថេរ x. ចំណាំថាពហុនាមនេះមិនមានទេ។ xនៅក្នុងសញ្ញាបត្រទីមួយ, i.e. មេគុណមុន។ xទៅអំណាចទីមួយគឺស្មើនឹង 0។ ចាប់តាំងពីយើងបែងចែកដោយ x−1 បន្ទាប់មកនៅក្នុងជួរទីពីរ យើងសរសេរមួយ៖

ចូរចាប់ផ្តើមបំពេញក្រឡាទទេនៅក្នុងជួរទីពីរ។ នៅក្នុងក្រឡាទីពីរនៃជួរទីពីរយើងសរសេរលេខ 5 ដោយគ្រាន់តែផ្លាស់ទីវាពីក្រឡាដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយ៖

តោះបំពេញក្រឡាបន្ទាប់តាមគោលការណ៍នេះ៖ 1⋅ 5 + 5 = 10 :

ចូរយើងបំពេញក្រឡាទីបួននៃជួរទីពីរតាមរបៀបដូចគ្នា៖ 1⋅ 10 + 1 = 11 :

សម្រាប់ក្រឡាទីប្រាំយើងទទួលបាន: 1⋅ 11 + 0 = 11 :

ហើយចុងក្រោយ សម្រាប់ក្រឡាទីប្រាំមួយចុងក្រោយ យើងមាន៖ 1⋅ 11 + (−11)= 0 :

បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ នៅសល់គឺត្រូវសរសេរចម្លើយ៖

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញលេខដែលមានទីតាំងនៅជួរទីពីរ (រវាងមួយនិងសូន្យ) គឺជាមេគុណនៃពហុនាមដែលទទួលបានបន្ទាប់ពីបែងចែក 5 ។ x 4 +5x 3 +x 2-11 ក្នុងមួយ x−១. តាមធម្មជាតិ ចាប់តាំងពីកម្រិតនៃពហុនាមដើមគឺ 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 ស្មើនឹងបួន បន្ទាប់មកកម្រិតនៃពហុនាមលទ្ធផលគឺ 5 x 3 +10x 2 +11x+11 គឺតិចជាងមួយពោលគឺឧ។ ស្មើនឹងបី។ លេខចុងក្រោយនៅក្នុងជួរទីពីរ (សូន្យ) មានន័យថានៅសល់នៃការបែងចែកពហុធា 5 x 4 +5x 3 +x 2-11 ក្នុងមួយ x−1.
ក្នុងករណីរបស់យើងនៅសល់គឺសូន្យ i.e. ពហុធាគឺអាចបែងចែកបានស្មើៗគ្នា។ លទ្ធផលនេះក៏អាចត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដូចខាងក្រោម: តម្លៃនៃពហុធាគឺ 5 x 4 +5x 3 +x២-១១ នៅ x=1 គឺស្មើនឹងសូន្យ។
ការសន្និដ្ឋានក៏អាចត្រូវបានបង្កើតជាទម្រង់នេះផងដែរ: ចាប់តាំងពីតម្លៃនៃពហុធាគឺ 5 x 4 +5x 3 +x២-១១ នៅ x=1 ស្មើនឹងសូន្យ បន្ទាប់មក ឯកភាព គឺជាឫសគល់នៃពហុធា 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11.

2. រកកូតាមិនពេញលេញ នៅសល់នៃការបែងចែកពហុនាម

ក(X) = X 3 – 2X 2 + 2X- 1 រូបក្នុងមួយលេខ X – 1.

ដំណោះស្រាយ៖

		– 2		– 1
α = 1		– 1

ចម្លើយ៖ សំណួរ(x) = X 2 – X + 1 , រ(x) = 0.

3. គណនាតម្លៃនៃពហុធា ក(X) នៅ X = – 1 ប្រសិនបើ ក(X) = X 3 – 2 X – 1.

ដំណោះស្រាយ៖

			– 2	– 1
α = – ១		– 1	– 1

ចម្លើយ៖ ក(– 1) = 0.

4. គណនាតម្លៃនៃពហុធាក(X) នៅ X= 3, កូតាមិនពេញលេញ និងនៅសល់, កន្លែងណា

ក(X)= 4 X 5 – 7X 4 + 5X 3 – 2 X + 1.

ដំណោះស្រាយ៖

		– 7			– 2
α = 3					178	535

ចម្លើយ៖ រ(x) = ក(3) = 535, សំណួរ(x) = 4 X 4 + 5X 3 + 20X 2 + 60X +178.

5. ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការX 3 + 4 X 2 + X – 6 = 0.

ដំណោះស្រាយ៖

ស្វែងរកផ្នែកនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ ±1; ± 2; ± 3; ± ៦

នៅទីនេះ a = 1 (x – 1 = x – a) ហើយមេគុណនៃពហុនាមភាគលាភគឺស្មើគ្នារៀងៗខ្លួន។
1, 4, 1, – 6។ យើងបង្កើតតារាងសម្រាប់អនុវត្តគ្រោងការណ៍ Horner៖

Corollaries ពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា

បទបង្ហាញសម្រាប់មេរៀន

សម្ភារៈពាក់ព័ន្ធ៖